2012年考研数学三第12题

首先，我们需要求出三条直线（或曲线）之间的交点，以便确定后续积分区域的边界。 1. 求直线 $y=x$ 与曲线 $y=\frac{4}{x}$ 的交点： 联立方程 $\begin{cases} y = x \\ y = \frac{4}{x} \end{cases}$，代入得 $x = \frac{4}{x}$，即 $x^2 = 4$，解得 $x = \pm 2$。由于在第一象限内，取 $x=2$，代入 $y=x$ 得 $y=2$，故交点坐标为 $(2,2)$。 2. 求直线 $y=4x$ 与曲线 $y=\frac{4}{x}$ 的交点： 联立方程 $\begin{cases} y = 4x \\ y = \frac{4}{x} \end{cases}$，代入得 $4x = \frac{4}{x}$，即 $4x^2 = 4$，$x^2 = 1$，解得 $x = \pm 1$。在第一象限内取 $x=1$，代入 $y=4x$ 得 $y=4$，故交点坐标为 $(1,4)$。 3. 求直线 $y=x$ 与直线 $y=4x$ 的交点： 联立方程 $\begin{cases} y = x \\ y = 4x \end{cases}$，代入得 $x = 4x$，即 $3x=0$，解得 $x=0$，代入 $y=x$ 得 $y=0$，故交点坐标为 $(0,0)$。 至此，我们得到了三个交点：$(0,0)$、$(1,4)$、$(2,2)$。这些交点将用于后续步骤中确定积分区域的边界曲线。

根据积分区域 $D$ 的边界条件，我们需要将区域划分为两个子区域以便于积分。首先，由题目条件可知，区域 $D$ 由曲线 $y = 4x$、$y = x$、$xy = 4$ 以及 $x = 0$ 围成。为了确定 $y$ 的变化范围，我们需找出各边界曲线的交点。联立 $y = 4x$ 与 $xy = 4$，得 $x \cdot 4x = 4$，即 $4x^2 = 4$，解得 $x = 1$（$x > 0$），此时 $y = 4$，故交点为 $(1,4)$。联立 $y = x$ 与 $xy = 4$，得 $x \cdot x = 4$，即 $x^2 = 4$，解得 $x = 2$（$x > 0$），此时 $y = 2$，故交点为 $(2,2)$。联立 $y = 4x$ 与 $y = x$，得 $4x = x$，解得 $x = 0$，此时 $y = 0$，故交点为 $(0,0)$。此外，直线 $x = 0$ 与曲线 $xy = 4$ 无交点（因为 $x=0$ 时 $xy=0 \neq 4$），但与 $y = 4x$ 和 $y = x$ 均交于 $(0,0)$。因此，区域 $D$ 在 $y$ 轴上的最低点为 $y=0$，最高点为 $y=4$。然而，对于固定的 $y$，$x$ 的左右边界会发生变化：当 $y$ 从 $0$ 到 $2$ 时，区域左侧边界由直线 $x = y/4$（即 $y = 4x$ 的反函数）给出，右侧边界由直线 $x = y$（即 $y = x$ 的反函数）给出；当 $y$ 从 $2$ 到 $4$ 时，左侧边界仍为 $x = y/4$，但右侧边界变为曲线 $x = 4/y$（即 $xy = 4$ 的反函数）。因此，我们将积分区域 $D$ 划分为两部分： 第一部分 $D_1$：$y \in [0, 2]$，$x$ 从 $\frac{y}{4}$ 到 $y$； 第二部分 $D_2$：$y \in [2, 4]$，$x$ 从 $\frac{y}{4}$ 到 $\frac{4}{y}$。 这样划分后，每个子区域上的 $x$ 上下限都是关于 $y$ 的显式函数，便于后续积分计算。

本步骤需要计算二重积分的第一部分积分： $$\iint_{D_1} f(x,y) \, d\sigma = \int_{0}^{2} dy \int_{y/4}^{y} dx$$ 首先计算内层积分（对 $x$ 积分）： 内层被积函数为 $1$，积分限为 $x$ 从 $\frac{y}{4}$ 到 $y$，因此 $$\int_{y/4}^{y} 1 \, dx = \left[ x \right]_{x=y/4}^{x=y} = y - \frac{y}{4} = \frac{3}{4}y$$ 将内层积分结果代入外层积分（对 $y$ 积分）： $$\int_{0}^{2} \frac{3}{4}y \, dy = \frac{3}{4} \int_{0}^{2} y \, dy$$ 计算 $\int_{0}^{2} y \, dy = \left[ \frac{1}{2}y^2 \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - 0 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ 因此 $$\frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2}$$ 所以第一部分积分的值为 $\frac{3}{2}$。

本步骤计算第二部分积分，即对变量 $y$ 在区间 $[2,4]$ 上积分，被积函数为 $\frac{4}{y} - \frac{y}{4}$。具体过程如下： 首先写出积分表达式： $$ \int_{2}^{4} \left( \frac{4}{y} - \frac{y}{4} \right) dy $$ 将积分拆分为两个部分： $$ \int_{2}^{4} \frac{4}{y} \, dy - \int_{2}^{4} \frac{y}{4} \, dy $$ 计算第一个积分： $$ \int_{2}^{4} \frac{4}{y} \, dy = 4 \int_{2}^{4} \frac{1}{y} \, dy = 4 \left[ \ln|y| \right]_{2}^{4} = 4 (\ln 4 - \ln 2) = 4 \ln \frac{4}{2} = 4 \ln 2 $$ 计算第二个积分： $$ \int_{2}^{4} \frac{y}{4} \, dy = \frac{1}{4} \int_{2}^{4} y \, dy = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{4} \left( \frac{4^2}{2} - \frac{2^2}{2} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{16}{2} - \frac{4}{2} \right) = \frac{1}{4} (8 - 2) = \frac{1}{4} \times 6 = \frac{3}{2} $$ 因此，原积分结果为： $$ 4 \ln 2 - \frac{3}{2} $$ 此结果即为第二部分积分值，将用于下一步与第一部分积分相加得到最终答案。

本步骤将前两步计算得到的两部分面积相加，得到所求区域的面积。 第一部分面积为 $\frac{3}{2}$，第二部分面积为 $4\ln 2 - \frac{3}{2}$。 将两部分相加： $$ S = \frac{3}{2} + \left(4\ln 2 - \frac{3}{2}\right) $$ 去括号，合并同类项： $$ S = \frac{3}{2} + 4\ln 2 - \frac{3}{2} $$ $\frac{3}{2}$ 与 $-\frac{3}{2}$ 互为相反数，相加得零： $$ S = 4\ln 2 $$ 因此，所求区域的面积为 $4\ln 2$。 验证：由于面积应为正数，$\ln 2 \approx 0.6931$，$4\ln 2 \approx 2.7724 > 0$，结果合理。同时，两部分面积相加后常数项恰好抵消，说明计算正确。 最终答案：$\boxed{4\ln 2}$。