2012年考研数学三第14题

已知事件$A$与$C$互不相容，即$A \cap C = \varnothing$。根据事件包含关系，$AB \subseteq A$，因为$AB$表示$A$与$B$同时发生，其样本点必然属于$A$。于是，$AB \cap C \subseteq A \cap C = \varnothing$，因此$AB \cap C = \varnothing$。由概率的规范性，空集的概率为0，故$P(AB \cap C) = 0$。这一关系表明，事件$AB$与$C$也是互不相容的，即$AB$与$C$不可能同时发生。

本步骤的目标是根据条件概率的定义，写出所求概率 $P(AB|\overline{C})$ 的表达式。条件概率的定义为：对于任意两个事件 $A$ 和 $B$，若 $P(B)>0$，则 $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$。这里，我们要求的是在事件 $\overline{C}$ 发生的条件下，事件 $AB$（即 $A$ 与 $B$ 同时发生）发生的概率。因此，将条件概率定义中的 $A$ 替换为 $AB$，$B$ 替换为 $\overline{C}$，即可得到： $$P(AB|\overline{C}) = \frac{P(AB \cap \overline{C})}{P(\overline{C})}.$$ 注意，$AB \cap \overline{C}$ 表示事件 $A$、$B$ 同时发生且 $C$ 不发生，即三个事件同时满足：$A$ 发生、$B$ 发生、$C$ 不发生。这个公式是后续计算的基础，它将条件概率转化为两个无条件概率的比值，从而可以利用已知的概率值或进一步的概率公式（如乘法公式、全概率公式等）进行计算。在本题中，我们需要根据题目给出的条件（如事件独立性或具体概率数值）来求出分子和分母的值。

本步骤的目标是计算概率 $P(AB \cap \overline{C})$，即事件 $A$ 与 $B$ 同时发生且事件 $C$ 不发生的概率。 首先，注意到事件 $AB \cap \overline{C}$ 可以表示为事件 $AB$ 与事件 $C$ 的差集： $$AB \cap \overline{C} = AB - (AB \cap C)$$ 这是因为 $AB \cap \overline{C}$ 表示属于 $AB$ 但不属于 $C$ 的部分，而 $AB - (AB \cap C)$ 正是从 $AB$ 中剔除 $AB$ 与 $C$ 的交集。 根据概率的减法公式，有： $$P(AB \cap \overline{C}) = P(AB) - P(AB \cap C)$$ 由题目已知条件（或前序步骤已得结果），$P(AB) = \frac{1}{2}$。同时，根据题目信息，事件 $A$、$B$、$C$ 两两独立且 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$，但 $A$、$B$、$C$ 并不相互独立，且已知 $P(ABC)=0$（因为 $ABC = \emptyset$，即三个事件不可能同时发生）。因此 $P(AB \cap C) = P(ABC) = 0$。 代入上式得： $$P(AB \cap \overline{C}) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$$ 因此，分子 $P(AB \cap \overline{C})$ 的值为 $\frac{1}{2}$。

本步骤的目标是计算分母$P(C^{\text{逆}})$，即事件$C$的逆事件（或称为对立事件）的概率。根据概率论的基本性质，对于任意事件$C$，其对立事件$C^{\text{逆}}$的概率满足：$P(C^{\text{逆}}) = 1 - P(C)$。 已知题目中已给出或已求得$P(C) = \frac{1}{3}$，因此直接代入公式： $$P(C^{\text{逆}}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$$ 这里$\frac{2}{3}$即为所求的分母值。该结果将用于后续步骤中的条件概率计算或其他运算。注意，$P(C^{\text{逆}})$表示事件$C$不发生的概率，其值介于0和1之间，此处计算正确。

本步骤是求解的最后一步，目标是将前几步得到的已知数值代入条件概率公式，计算出$P(AB|C^c)$的值。 根据前几步的推导，我们已知： - $P(AB \cap C^c) = \frac{1}{2}$（分子部分） - $P(C^c) = \frac{2}{3}$（分母部分） 条件概率的定义为： $$P(AB|C^c) = \frac{P(AB \cap C^c)}{P(C^c)}$$ 将数值代入： $$P(AB|C^c) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}}$$ 根据分数除法法则，除以一个分数等于乘以它的倒数： $$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$$ 因此，所求条件概率为$\frac{3}{4}$。 **最终答案验证**： - 概率值$\frac{3}{4}$在0到1之间，符合概率公理。 - 检查计算过程：$\frac{1}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$，计算无误。 - 从实际意义看，$P(AB|C^c)$表示在$C$不发生的条件下，$A$和$B$同时发生的概率，该结果合理。 综上，最终答案为$\frac{3}{4}$。