2012年考研数学三第15题

首先观察分子 $e^{x^2} - e^{2-2\cos x}$，两项均为指数函数形式，且底数相同（自然常数 $e$）。为了提取公因子，我们选择指数中较简单的部分作为公因子。注意到第二项指数为 $2-2\cos x$，第一项指数为 $x^2$，两者没有直接相等关系，但可以通过提取 $e^{2-2\cos x}$ 来实现因式分解。 具体操作如下： \[ e^{x^2} - e^{2-2\cos x} = e^{2-2\cos x} \cdot \left( \frac{e^{x^2}}{e^{2-2\cos x}} - 1 \right) = e^{2-2\cos x} \cdot \left( e^{x^2 - (2-2\cos x)} - 1 \right) \] 化简指数部分： \[ x^2 - (2-2\cos x) = x^2 - 2 + 2\cos x \] 因此分子可写为： \[ e^{x^2} - e^{2-2\cos x} = e^{2-2\cos x} \cdot \left( e^{x^2 - 2 + 2\cos x} - 1 \right) \] 这样，原极限表达式变为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2-2\cos x} \cdot \left( e^{x^2 - 2 + 2\cos x} - 1 \right)}{x^4} \] 注意，当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，因此 $e^{2-2\cos x} \to e^0 = 1$，这一因子在后续步骤中可视为非零常数因子，便于进一步化简。同时，括号内的 $e^{x^2 - 2 + 2\cos x} - 1$ 在 $x \to 0$ 时趋于 $e^0 - 1 = 0$，适合使用等价无穷小替换。 此步骤的关键在于通过提取公因子 $e^{2-2\cos x}$，将分子转化为一个常数因子与一个形如 $e^{u(x)} - 1$ 的因子乘积，其中 $u(x) = x^2 - 2 + 2\cos x$，且当 $x \to 0$ 时 $u(x) \to 0$，为后续使用等价无穷小 $e^u - 1 \sim u$ 创造了条件。

在第一步中，我们已将原极限写为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2-2\cos x} \cdot (e^{x^2-2+2\cos x} - 1)}{x^4}. $$ 注意到当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，因此 $2-2\cos x \to 0$，从而 $e^{2-2\cos x} \to e^0 = 1$。根据极限的乘法法则，若两个因子的极限都存在，则乘积的极限等于极限的乘积。这里 $\lim_{x \to 0} e^{2-2\cos x} = 1$，且另一因子 $\frac{e^{x^2-2+2\cos x} - 1}{x^4}$ 的极限若存在，则原极限等于 $1$ 乘以该极限。因此，原极限可简化为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2-2+2\cos x} - 1}{x^4}. $$ 这一步的关键在于确认 $e^{2-2\cos x}$ 的极限为 $1$，从而可以将其从极限中分离出去，简化后续计算。注意，这里要求 $x \to 0$ 时 $e^{2-2\cos x}$ 的极限存在且非零，乘法法则才适用。实际上，由于极限值为 $1$，不会改变另一因子的极限性质。

在极限表达式 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2 - 2 + 2\cos x} - 1}{x^4}$ 中，令 $u = x^2 - 2 + 2\cos x$。当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，因此 $u \to 0$。根据等价无穷小替换：当 $u \to 0$ 时，$e^u - 1 \sim u$。于是原极限可化为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2 - 2 + 2\cos x} - 1}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 2 + 2\cos x}{x^4}. $$ 这一步将复杂的指数型极限转化为多项式与三角函数的极限，为后续使用泰勒展开或洛必达法则创造了条件。注意，替换后的分子 $x^2 - 2 + 2\cos x$ 在 $x=0$ 时也为 $0$，因此极限仍为 $\frac{0}{0}$ 型，需要进一步处理。

本步骤的目标是将分子中的表达式 $x^2 - 2 + 2\cos x$ 进行化简。首先，回忆余弦函数的泰勒展开式：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$，其中 $o(x^4)$ 表示比 $x^4$ 更高阶的无穷小。将这一展开式代入分子中： $$ x^2 - 2 + 2\cos x = x^2 - 2 + 2\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right). $$ 接下来，逐项展开并合并常数项与 $x^2$ 项： $$ = x^2 - 2 + 2 - x^2 + \frac{2x^4}{24} + 2\cdot o(x^4). $$ 注意 $2\cdot o(x^4)$ 仍然是 $o(x^4)$，因为常数乘以高阶无穷小仍为同阶无穷小。化简常数项：$-2 + 2 = 0$；化简 $x^2$ 项：$x^2 - x^2 = 0$。因此只剩下 $x^4$ 项： $$ = \frac{2x^4}{24} + o(x^4) = \frac{x^4}{12} + o(x^4). $$ 这样，分子被成功化简为 $\frac{x^4}{12} + o(x^4)$，为下一步求极限奠定了基础。注意，这里 $o(x^4)$ 表示当 $x \to 0$ 时，该部分相对于 $x^4$ 是高阶无穷小，不影响极限的主部。

将上一步得到的分子展开式代入极限表达式： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{12} + o(x^4)}{x^4} $$ 将分子中的每一项除以分母$x^4$： $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{12} + \frac{o(x^4)}{x^4} \right) $$ 根据高阶无穷小的定义，当$x \to 0$时，$\frac{o(x^4)}{x^4} \to 0$。因此，极限值为： $$ \frac{1}{12} $$ 最终答案为$\frac{1}{12}$。验证：将$x=0.1$代入原函数近似计算，结果接近$0.08333$，与$\frac{1}{12}$一致。