💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（I）因为 $X$ 与 $Y$ 独立同分布于参数为 1 的指数分布，故 $X$ 与 $Y$ 的分布函数都为
$$
F(x)= \begin{cases}0, & x\lt 0 \\ 1-\mathrm{e}^{-x}, & x \geqslant 0\end{cases}
$$
$V=\min \{X, Y\}$ 的分布函数为
$$
\begin{aligned}
F_{V}(v) & =P\{\min (X, Y) \leqslant v\}=1-P\{\min (X, Y)\gt v\}=1-P\{X\gt v, Y\gt v\} \\
& =1-P\{X\gt v\} P\{Y\gt v\}=1-[1-P\{X \leqslant v\}] \cdot[1-P\{Y \leqslant v\}] \\
& =1-[1-F(v)]^{2}=\left\{\begin{array}{lc}
0, & v\lt 0, \\
1-\mathrm{e}^{-2 v}, & v \geqslant 0,
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
$V$ 的密度函数为 $f_{V}(v)=\left\{\begin{array}{ll}0, & v \leqslant 0, \\ 2 \mathrm{e}^{-2 v}, & v\gt 0,\end{array}\right.$ 即 $V \sim E(2)$ ．
（II）方法一 $U=\max \{X, Y\}$ 的分布函数为
$$
\begin{aligned}
F_{U}(u) & =P\{U \leqslant u\}=P\{\max (X, Y) \leqslant u\}=P\{X \leqslant u, Y \leqslant u\} \\
& =P\{X \leqslant u\} P\{Y \leqslant u\}=F^{2}(u)= \begin{cases}0, & u\lt 0 \\
\left(1-\mathrm{e}^{-u}\right)^{2}, & u \geqslant 0\end{cases}
\end{aligned}
$$
$U$ 的密度函数为 $f_{U}(u)= \begin{cases}0, & u \leqslant 0, \\ 2 \mathrm{e}^{-u}\left(1-\mathrm{e}^{-u}\right), & u\gt 0,\end{cases}$
于是 $E(U+V)=E(U)+E(V)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} u \cdot 2 \mathrm{e}^{-u}\left(1-\mathrm{e}^{-u}\right) \mathrm{d} u+\displaystyle\int_{0}^{+\infty} u \cdot 2 \mathrm{e}^{-2 u} \mathrm{~d} u$
$$
=2 \int_{0}^{+\infty} u \mathrm{e}^{-u} \mathrm{~d} u=2 \Gamma(2)=2
$$
📋 详细解题步骤
目标：写出X和Y的分布函数
由题意，随机变量$X$和$Y$相互独立，且均服从参数为$1$的指数分布。指数分布的概率密度函数为$f(x) = e^{-x}$（$x \geq 0$），否则为$0$。根据指数分布的定义，其分布函数为$F(x) = P(X \leq x) = \int_{0}^{x} e^{-t} dt$。计算该积分：$\int_{0}^{x} e^{-t} dt = \left[-e^{-t}\right]_{0}^{x} = -e^{-x} - (-e^{0}) = 1 - e^{-x}$。因此，对于$X$，当$x \geq 0$时，$F_X(x) = 1 - e^{-x}$；当$x < 0$时，$F_X(x) = 0$。同理，对于$Y$，当$y \geq 0$时，$F_Y(y) = 1 - e^{-y}$；当$y < 0$时，$F_Y(y) = 0$。由于$X$和$Y$同分布，故它们的分布函数形式完全相同。这一步为后续计算联合分布、条件分布等奠定基础。
公式：$$F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$
提示：指数分布$\lambda=1$时，分布函数为$1-e^{-x}$，可直接记忆。
目标：求V=min(X,Y)的分布函数
设随机变量$X$和$Y$独立同分布，其分布函数为$F(x)=1-e^{-x}$（$x\geq 0$）。令$V=\min(X,Y)$，我们需要求$V$的分布函数$F_V(v)=P(V\leq v)$。
根据最小值的定义，事件$\{V>v\}$等价于$\{X>v\}$且$\{Y>v\}$同时发生，即$P(V>v)=P(X>v,Y>v)$。由于$X$与$Y$独立，有
$$P(V>v)=P(X>v)P(Y>v)=[1-F(v)]^2.$$
因此，$V$的分布函数为
$$F_V(v)=1-P(V>v)=1-[1-F(v)]^2.$$
代入$F(v)=1-e^{-v}$（$v\geq 0$），得
$$F_V(v)=1-[1-(1-e^{-v})]^2=1-(e^{-v})^2=1-e^{-2v},\quad v\geq 0.$$
当$v<0$时，$F_V(v)=0$。
所以，$V=\min(X,Y)$的分布函数为
$$F_V(v)=\begin{cases} 0, & v<0, \\ 1-e^{-2v}, & v\geq 0. \end{cases}$$
这表示$V$服从参数为$2$的指数分布。
公式：$$F_V(v)=1-P(X>v,Y>v)=1-[1-F(v)]^2=1-e^{-2v}\quad(v\geq 0)$$
提示：利用对立事件$\{V>v\}$转化为$\{X>v\}\cap\{Y>v\}$，再结合独立性求解。
目标：求V的概率密度函数
已知随机变量$V$的分布函数为$F_V(v) = 1 - e^{-2v}$，其中$v > 0$。概率密度函数$f_V(v)$是分布函数$F_V(v)$的导数，即$f_V(v) = \frac{d}{dv} F_V(v)$。对$F_V(v)$求导：
$$f_V(v) = \frac{d}{dv} \left(1 - e^{-2v}\right) = 0 - (-2)e^{-2v} = 2e^{-2v}, \quad v > 0.$$
当$v \leq 0$时，分布函数$F_V(v)=0$，因此概率密度函数$f_V(v)=0$。
综上，$V$的概率密度函数为
$$f_V(v) = \begin{cases} 2e^{-2v}, & v > 0, \\ 0, & v \leq 0. \end{cases}$$
该形式正是参数$\lambda = 2$的指数分布的概率密度函数，即$V \sim \text{Exp}(2)$。
公式：$$f_V(v) = \frac{d}{dv} F_V(v) = 2e^{-2v}, \quad v > 0$$
提示：对分布函数求导时注意常数项导数为0，指数函数求导要乘内层导数。
目标：求U=max(X,Y)的分布函数
已知随机变量$X$与$Y$独立同分布，其分布函数为$F(x)=1-e^{-x}$（$x\geq 0$），且$F(x)=0$（$x<0$）。
要求$U=\max(X,Y)$的分布函数$F_U(u)$。根据分布函数的定义：
$$F_U(u)=P(U\leq u)=P(\max(X,Y)\leq u).$$
事件$\{\max(X,Y)\leq u\}$等价于$\{X\leq u\}$且$\{Y\leq u\}$同时成立，因此
$$F_U(u)=P(X\leq u,\,Y\leq u).$$
由于$X$与$Y$相互独立，联合概率等于边缘概率的乘积：
$$P(X\leq u,\,Y\leq u)=P(X\leq u)\cdot P(Y\leq u)=F(u)\cdot F(u)=F^2(u).$$
代入$F(u)$的表达式。当$u<0$时，$F(u)=0$，故$F_U(u)=0$。当$u\geq 0$时，$F(u)=1-e^{-u}$，所以
$$F_U(u)=\left(1-e^{-u}\right)^2,\quad u\geq 0.$$
因此，$U=\max(X,Y)$的分布函数为
$$F_U(u)=\begin{cases}
0, & u<0,\\
\left(1-e^{-u}\right)^2, & u\geq 0.
\end{cases}$$
该结果满足分布函数的性质：$F_U(-\infty)=0$，$F_U(+\infty)=1$，且单调非减、右连续。
公式：$$F_U(u)=F^2(u)=\left(1-e^{-u}\right)^2,\quad u\geq 0$$
提示：最大值事件转化为两个变量同时小于等于u的交集，利用独立性将联合概率分解为乘积。
目标：求U的概率密度函数
已知U的分布函数为$F_U(u) = (1 - e^{-u})^2$，其中$u > 0$。概率密度函数$f_U(u)$是分布函数$F_U(u)$的导数，即$f_U(u) = \frac{d}{du} F_U(u)$。
对$F_U(u)$求导：
$$f_U(u) = \frac{d}{du} \left[ (1 - e^{-u})^2 \right]$$
令$g(u) = 1 - e^{-u}$，则$F_U(u) = [g(u)]^2$，由链式法则：
$$f_U(u) = 2 g(u) \cdot g'(u)$$
计算$g'(u) = \frac{d}{du}(1 - e^{-u}) = e^{-u}$（因为$\frac{d}{du}(-e^{-u}) = e^{-u}$）。
代入得：
$$f_U(u) = 2 (1 - e^{-u}) \cdot e^{-u} = 2 e^{-u} (1 - e^{-u})$$
由于U的定义域为$u > 0$，当$u \leq 0$时，$F_U(u)=0$，故$f_U(u)=0$。
因此，U的概率密度函数为：
$$f_U(u) = \begin{cases} 2 e^{-u} (1 - e^{-u}), & u > 0 \\ 0, & u \leq 0 \end{cases}$$
验证：对$f_U(u)$在$(0, +\infty)$上积分应等于1。计算积分：
$$\int_0^{+\infty} 2 e^{-u} (1 - e^{-u}) \, du = 2 \int_0^{+\infty} (e^{-u} - e^{-2u}) \, du = 2 \left[ -e^{-u} + \frac{1}{2} e^{-2u} \right]_0^{+\infty} = 2 \left(0 - (-1 + \frac{1}{2}) \right) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$$
验证正确。
公式：$$f_U(u) = \frac{d}{du} F_U(u) = 2 e^{-u} (1 - e^{-u}), \quad u > 0$$
提示：求导时注意内层函数$1-e^{-u}$的导数为$e^{-u}$，不要丢掉负号。
目标：计算E(U)
我们需要计算随机变量$U$的期望$E(U)$。已知$U$的概率密度函数为$f_U(u)=2e^{-u}(1-e^{-u})$，$u>0$。根据期望的定义：
$$E(U)=\int_0^\infty u\cdot f_U(u)\,du = \int_0^\infty u\cdot 2e^{-u}(1-e^{-u})\,du.$$
将积分拆分为两项：
$$E(U)=2\int_0^\infty u e^{-u}\,du - 2\int_0^\infty u e^{-2u}\,du.$$
对于第一项，利用伽马函数或分部积分法：
$$\int_0^\infty u e^{-u}\,du = \Gamma(2)=1! = 1.$$
对于第二项，令$t=2u$，则$du = dt/2$，$u=t/2$，积分限不变：
$$\int_0^\infty u e^{-2u}\,du = \int_0^\infty \frac{t}{2} e^{-t}\cdot\frac{dt}{2} = \frac{1}{4}\int_0^\infty t e^{-t}\,dt = \frac{1}{4}\cdot1 = \frac{1}{4}.$$
因此：
$$E(U)=2\cdot1 - 2\cdot\frac{1}{4} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.$$
所以$E(U)=\frac{3}{2}$。
公式：$$E(U)=\int_0^\infty u\cdot 2e^{-u}(1-e^{-u})\,du = \frac{3}{2}$$
提示：利用伽马函数$\int_0^\infty x^{n}e^{-ax}dx = n!/a^{n+1}$可快速计算此类积分。
目标：计算E(U+V)
本步骤的目标是计算随机变量$U+V$的数学期望。根据期望的线性性质，对于任意两个随机变量$U$和$V$，有$E(U+V)=E(U)+E(V)$。在前面的步骤中，我们已经分别求出了$U$和$V$的期望：$E(U)=\frac{3}{2}$，$E(V)=\frac{1}{2}$。因此，直接代入线性性质公式可得：
$$E(U+V)=E(U)+E(V)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2.$$
最终答案为$2$。验证：由于$U$和$V$的期望均为正数且和为整数，结果合理。至此，题目所有问题均已解答完毕。
公式：E(U+V)=E(U)+E(V)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2
提示：期望的线性性质适用于任意随机变量，无需独立条件。