2012年考研数学三第1题

首先，我们需要判断曲线是否存在水平渐近线。水平渐近线是指当自变量$x$趋于正无穷或负无穷时，函数$y$趋于某个常数$c$，则直线$y=c$为一条水平渐近线。 对于本题，设函数为$y = \frac{x^2}{x^2 - 1}$。我们分别计算$x \to +\infty$和$x \to -\infty$时的极限。 **计算$x \to +\infty$时的极限：** $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} $$ 分子分母同时除以$x^2$（$x>0$），得： $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1 - 0} = 1 $$ **计算$x \to -\infty$时的极限：** $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} $$ 同样分子分母除以$x^2$（注意$x^2$恒正），得： $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1 - 0} = 1 $$ 由于两个方向的极限都存在且相等，均为$1$，因此曲线有一条水平渐近线$y=1$。 注意：水平渐近线的存在要求极限为有限常数。这里极限为$1$，所以水平渐近线方程为$y=1$。

首先，找出函数分母为零的点。设函数为 $y = \frac{x^2}{x^2 - 1}$，分母 $x^2 - 1 = 0$ 解得 $x = \pm 1$。这两个点可能是铅直渐近线的位置。 接下来分别计算 $x \to 1$ 和 $x \to -1$ 时 $y$ 的极限。 **当 $x \to 1$ 时：** 考虑 $x \to 1^+$（从右侧趋近）和 $x \to 1^-$（从左侧趋近）。 $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2}{(x-1)(x+1)}$$ 当 $x \to 1$ 时，分子 $x^2 \to 1$，分母 $(x-1)(x+1) \to 0$，因此极限为无穷大。具体地： - $x \to 1^+$ 时，$x-1 > 0$，$x+1 > 0$，分母为正，故 $y \to +\infty$。 - $x \to 1^-$ 时，$x-1 < 0$，$x+1 > 0$，分母为负，故 $y \to -\infty$。 由于左右极限均为无穷大（符号不同不影响铅直渐近线的存在），所以 $x = 1$ 是一条铅直渐近线。 **当 $x \to -1$ 时：** 类似地， $$\lim_{x \to -1} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to -1} \frac{x^2}{(x-1)(x+1)}$$ 当 $x \to -1$ 时，分子 $x^2 \to 1$，分母 $(x-1)(x+1) \to 0$，极限也为无穷大。具体地： - $x \to -1^+$ 时，$x+1 > 0$，$x-1 < 0$，分母为负，故 $y \to -\infty$。 - $x \to -1^-$ 时，$x+1 < 0$，$x-1 < 0$，分母为正，故 $y \to +\infty$。 因此 $x = -1$ 也是一条铅直渐近线。 综上，函数有两条铅直渐近线：$x = 1$ 和 $x = -1$。

首先计算斜率 $k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{y}{x}$。已知函数 $y = \frac{x^2}{x+1}$，则 $$\frac{y}{x} = \frac{x^2}{x+1} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}.$$ 当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x+1} \to 0$，因此 $$k = \lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x+1}\right) = 1.$$ 斜率 $k=1$ 存在且非零，故可能存在斜渐近线。 接着计算截距 $b = \lim\limits_{x \to \infty} (y - kx) = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{x+1} - x \right)$。通分得 $$\frac{x^2}{x+1} - x = \frac{x^2 - x(x+1)}{x+1} = \frac{x^2 - x^2 - x}{x+1} = \frac{-x}{x+1} = -1 + \frac{1}{x+1}.$$ 当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x+1} \to 0$，因此 $$b = \lim_{x \to \infty} \left(-1 + \frac{1}{x+1}\right) = -1.$$ 所以斜渐近线方程为 $y = kx + b = x - 1$。 注意：当 $x \to -\infty$ 时，同样可得 $k=1$，$b=-1$，因此该斜渐近线同时适用于正负无穷方向。

综合前几步的结果，我们已求得： - 水平渐近线：$y = 1$（当 $x \to -\infty$ 时）和 $y = -1$（当 $x \to +\infty$ 时），共 **2条**。 - 铅直渐近线：$x = 0$ 和 $x = 1$，共 **2条**。 - 斜渐近线：不存在（因为水平渐近线已存在，且左右两侧的斜率 $k$ 均为0）。 因此，该曲线共有 $2 + 2 + 0 = 4$ 条渐近线。 **验证**：检查是否有遗漏。对于 $x \to -\infty$，函数趋近于 $y=1$；对于 $x \to +\infty$，函数趋近于 $y=-1$；在 $x=0$ 和 $x=1$ 处函数趋于无穷大，故铅直渐近线成立。无其他方向上的渐近线。 对应选项为 **D**（4条）。