2009年考研数学一第18题

首先，根据题目条件，函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导。为了应用罗尔定理证明存在一点$\xi \in (a,b)$使得某个等式成立，我们构造辅助函数如下： 令 $$ \varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a). $$ 这个函数的构造思路是：将原函数$f(x)$减去一条过点$(a,f(a))$和$(b,f(b))$的直线方程，从而使得$\varphi(x)$在端点处的函数值相等。具体地，直线方程为 $$ y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a), $$ 因此$\varphi(x)$表示$f(x)$与这条直线的纵坐标之差。 接下来验证$\varphi(x)$满足罗尔定理的条件： 1. **连续性**：由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，而$f(a)$、$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$均为常数或线性函数（连续），所以$\varphi(x)$作为连续函数的线性组合，在$[a,b]$上连续。 2. **可导性**：由于$f(x)$在$(a,b)$内可导，而$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$的导数为常数$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，因此$\varphi(x)$在$(a,b)$内可导，且 $$ \varphi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$ 3. **端点函数值相等**：计算$\varphi(a)$和$\varphi(b)$： - 当$x=a$时， $$ \varphi(a)=f(a)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=0. $$ - 当$x=b$时， $$ \varphi(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-f(a)-[f(b)-f(a)]=0. $$ 因此$\varphi(a)=\varphi(b)=0$。 至此，$\varphi(x)$满足罗尔定理的全部条件：在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$\varphi(a)=\varphi(b)$。于是由罗尔定理，存在$\xi \in (a,b)$，使得$\varphi'(\xi)=0$，即 $$ f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$ 本步骤完成了辅助函数的构造及其性质的验证，为后续应用罗尔定理得出结论做好了准备。

首先，我们构造辅助函数 $\varphi(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$。该函数在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导（因为 $f(x)$ 满足拉格朗日中值定理的条件）。 计算端点值： - 当 $x=a$ 时，$\varphi(a) = f(a) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) = 0$。 - 当 $x=b$ 时，$\varphi(b) = f(b) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a) = f(b)-f(a) - (f(b)-f(a)) = 0$。 因此，$\varphi(a) = \varphi(b) = 0$，满足罗尔定理的条件。由罗尔定理可知，存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $\varphi'(\xi)=0$。 接下来计算 $\varphi'(x)$： $$\varphi'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ 代入 $x=\xi$ 得： $$\varphi'(\xi) = f'(\xi) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0,$$ 即 $$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ 这正是拉格朗日中值定理的结论。本步骤通过构造辅助函数并应用罗尔定理，完成了拉格朗日中值定理的证明核心环节。

在上一构造的辅助函数 $\varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ 的基础上，我们已求得其导数为 $\varphi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。根据罗尔定理的条件，$\varphi(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $\varphi(a)=\varphi(b)=0$，因此存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $\varphi'(\xi)=0$。将 $\xi$ 代入导数表达式： $$ \varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0. $$ 移项即得 $$ f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$ 此式等价于 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，这正是拉格朗日中值定理的结论。该结论表明：在区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得函数在该点的导数等于区间端点函数值的平均变化率。至此，我们通过构造辅助函数并应用罗尔定理，完成了拉格朗日中值定理的证明。

由步骤3已知，存在$\delta>0$使得当$x\in(0,\delta)$时，有$f'(x)>0$（或$f'(x)<0$，视具体问题而定）。现在对任意$x\in(0,\delta)$，考虑函数$f$在闭区间$[0,x]$上的情形。由于$f$在$[0,x]$上连续，在$(0,x)$内可导（题目条件保证$f$在$x=0$处连续且可导），因此$f$在$[0,x]$上满足拉格朗日中值定理的条件。根据拉格朗日中值定理，存在一点$\xi\in(0,x)$，使得 $$\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(\xi).$$ 由于$\xi\in(0,x)\subset(0,\delta)$，故$\xi$也落在$(0,\delta)$内，从而$f'(\xi)$具有与$f'(x)$相同的符号（正或负）。因此，差商$\frac{f(x)-f(0)}{x}$与$f'(\xi)$同号。特别地，若$f'(\xi)>0$，则$\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$，即$f(x)>f(0)$；若$f'(\xi)<0$，则$\frac{f(x)-f(0)}{x}<0$，即$f(x)

公式：$$\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(\xi),\quad \xi\in(0,x)$$

提示：注意$\xi$与$x$的关系：$\xi$在$(0,x)$内，因此与$x$同属小区间，导数符号一致。