当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^{2} \ln (1-b x)$ 是等价无穷小量，则
如图，正方形 $\{(x, y)||x| \leqslant 1,|y| \leqslant 1\}$ 被其对角线划分为四个区域 $D_{k}(k=1,2,3,4), I_{k}=\iint_{D_{k}} y \cos x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则 $\max _{1 \leqslant k \leqslant 4}\left\{I_{k}\right\}=$
设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-1,3]$ 上的图形如右图所示，则函数 $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 的图形为
（D）
设有两个数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，若 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是3维向量空间 $\mathbf{R}^{3}$ 的一组基，则由基 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \displaystyle\frac{1}{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \displaystyle\frac{1}{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 到基 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$的过渡矩阵为
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 2 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}, \boldsymbol{B}^{*}$ 分别为 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵，若 $|\boldsymbol{A}|=2,|\boldsymbol{B}|=3$ ，则分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}\overline{\boldsymbol{O}} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为（ ）
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.3 \Phi(x)+0.7 \Phi\left(\displaystyle\frac{x-1}{2}\right)$ ，其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数，则 $E(X)=(\quad)$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1), Y$ 的概率分布为 $P\{Y=0\}= P\{Y=1\}=\displaystyle\frac{1}{2}$ ．记 $F_{Z}(z)$ 为随机变量 $Z=X Y$ 的分布函数，则函数 $F_{Z}(z)$ 的间断点个数为（ ）
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，$z=f(x, x y)$ ，则 $\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．
若二阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的通解为 $y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{x}$ ，则非齐次方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=x$ 满足条件 $y(0)=2, y^{\prime}(0)=0$ 的解为 $y=$ $\_\_\_\_$ ．
已知曲线 $L: y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant \sqrt{2})$ ，则 $\displaystyle\int_{L} x \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1\right\}$ ，则 $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
若3维列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 满足 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=2$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}$ 的转置，则矩阵 $\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的非零特征值为 $\_\_\_\_$ ．
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{m}$ 为来自二项分布总体 $B(n, p)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 和 $S^{2}$ 分别为样本均值和样本方差，若 $\bar{X}+k S^{2}$ 为 $n p^{2}$ 的无偏估计量，则 $k=$ $\_\_\_\_$
设 $a_{n}$ 为曲线 $y=x^{n}$ 与 $y=x^{n+1}(n=1,2, \cdots)$ 所围成区域的面积，记 $S_{1}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, S_{2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ ，求 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的值．
椭球面 $S_{1}$ 是椭圆 $\displaystyle\frac{x^{2}}{4}+\displaystyle\frac{y^{2}}{3}=1$ 绕 $x$ 轴旋转而成，圆雉面 $S_{2}$ 是由过点 $(4,0)$ 且与椭圆 $\displaystyle\frac{x^{2}}{4}+\displaystyle\frac{y^{2}}{3}=1$相切的直线绕 $x$ 轴旋转而成。 （I）求 $S_{1}$ 及 $S_{2}$ 的方程； （II）求 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 之间的立体的体积。
（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$ 。 （II）证明：若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在 $(0, \delta)(\delta\gt 0)$ 内可导，且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在，且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$.
计算曲面积分 $I=\oiint_{\Sigma} \displaystyle\frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\displaystyle\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\Sigma$ 是曲面 $2 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=4$ 的外侧．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ ． （I）求满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{2}=\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\xi}_{3}=\boldsymbol{\xi}_{1}$ 的所有向量 $\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ ； （ II）对（ I ）中的任意向量 $\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ ，证明 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ 线性无关。
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ． （I）求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值； （II）若二次型 $f$ 的规范形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值．
袋中有 1 个红球、 2 个黑球与 3 个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一个球。以 $X, Y, Z$分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。 （I）求 $P\{X=1 \mid Z=0\}$ ； （II）求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布．
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \begin{cases}\lambda^{2} x \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x\gt 0, \\ 0, & \text { 其他}\end{cases}$ ，其中参数 $\lambda(\lambda\gt 0)$ 未知，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来}自总体 $X$ 的简单随机样本． （I）求参数 $\lambda$ 的矩估计量； （II）求参数 $\lambda$ 的最大似然估计量．