2009年考研数学一第5题

首先，我们需要明确题目中给出的向量组。设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三维线性空间 $V$ 的一组基。为了后续计算过渡矩阵，我们定义两组新的基。 **第一组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$**： 令 $\beta_1 = \alpha_1$，$\beta_2 = \frac{1}{2}\alpha_2$，$\beta_3 = \frac{1}{3}\alpha_3$。 由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，且 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 只是对每个基向量进行了非零数乘，因此它们仍然线性无关，构成 $V$ 的一组基。 **第二组基 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$**： 令 $\gamma_1 = \alpha_1 + \alpha_2$，$\gamma_2 = \alpha_2 + \alpha_3$，$\gamma_3 = \alpha_3 + \alpha_1$。 我们需要验证 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 是否线性无关。设存在数 $k_1, k_2, k_3$ 使得 $$k_1\gamma_1 + k_2\gamma_2 + k_3\gamma_3 = 0$$ 代入定义得 $$k_1(\alpha_1+\alpha_2) + k_2(\alpha_2+\alpha_3) + k_3(\alpha_3+\alpha_1) = 0$$ 整理得 $$(k_1+k_3)\alpha_1 + (k_1+k_2)\alpha_2 + (k_2+k_3)\alpha_3 = 0$$ 由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，系数必须全为零： \begin{cases} k_1 + k_3 = 0 \\ k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0 \end{cases} 解此方程组，由第一式得 $k_3 = -k_1$，代入第三式得 $k_2 - k_1 = 0$，即 $k_2 = k_1$，再代入第二式得 $k_1 + k_1 = 0$，故 $k_1=0$，进而 $k_2=0, k_3=0$。所以 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 线性无关，构成 $V$ 的另一组基。 至此，我们成功定义了两组基： - 第一组基：$\beta_1 = \alpha_1,\ \beta_2 = \frac{1}{2}\alpha_2,\ \beta_3 = \frac{1}{3}\alpha_3$； - 第二组基：$\gamma_1 = \alpha_1+\alpha_2,\ \gamma_2 = \alpha_2+\alpha_3,\ \gamma_3 = \alpha_3+\alpha_1$。

由题目已知条件，向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 与 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 满足关系： $$\begin{cases} \alpha_1 = \beta_1 \\ \alpha_2 = 2\beta_2 \\ \alpha_3 = 3\beta_3 \end{cases}$$ 这是根据题目中给出的线性变换或坐标变换定义直接得到的。具体推导过程如下： 首先，回顾题目给出的条件（来自第1步）：存在一个线性变换，使得基 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 与基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 之间满足某种对应关系。通常这种关系由过渡矩阵或坐标变换矩阵给出。本题中，由定义直接可知： - $\alpha_1$ 与 $\beta_1$ 方向相同且长度相等，故 $\alpha_1 = \beta_1$。 - $\alpha_2$ 是 $\beta_2$ 的两倍，故 $\alpha_2 = 2\beta_2$。 - $\alpha_3$ 是 $\beta_3$ 的三倍，故 $\alpha_3 = 3\beta_3$。 因此，用 $\beta$ 表示 $\alpha$ 的表达式为： $$\alpha_1 = \beta_1, \quad \alpha_2 = 2\beta_2, \quad \alpha_3 = 3\beta_3.$$ 这一步骤为后续计算过渡矩阵、坐标变换或求解线性方程组奠定了基础。注意，这里 $\alpha_i$ 与 $\beta_i$ 的对应关系是直接给出的，不需要额外推导。

已知向量组$\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$与向量组$\beta_1,\beta_2,\beta_3$之间的关系为： $$ \begin{cases} \gamma_1 = \beta_1 + 2\beta_2 \\ \gamma_2 = 2\beta_2 + 3\beta_3 \\ \gamma_3 = \beta_1 + 3\beta_3 \end{cases} $$ 我们的目标是将每个$\gamma_i$表示为$\beta_1,\beta_2,\beta_3$的线性组合。上述方程组已经直接给出了这种线性表示，因此无需进一步推导。 具体地： - $\gamma_1$由$\beta_1$和$\beta_2$线性组合而成，系数分别为$1$和$2$，$\beta_3$的系数为$0$。 - $\gamma_2$由$\beta_2$和$\beta_3$线性组合而成，系数分别为$2$和$3$，$\beta_1$的系数为$0$。 - $\gamma_3$由$\beta_1$和$\beta_3$线性组合而成，系数分别为$1$和$3$，$\beta_2$的系数为$0$。 若用矩阵形式表示，设$\Gamma = (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)$，$B = (\beta_1,\beta_2,\beta_3)$，则存在过渡矩阵$C$使得$\Gamma = B C$，其中 $$ C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} $$ 即$\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$可由$\beta_1,\beta_2,\beta_3$线性表示，且表示系数矩阵为$C$。

由前一步骤得到的向量组关系： \[ \begin{cases} \beta_1 = \alpha_1 + 2\alpha_2 \\ \beta_2 = 2\alpha_2 + 3\alpha_3 \\ \beta_3 = \alpha_1 + 3\alpha_3 \end{cases} \] 将每个$\beta_j$用$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示，系数按列排列构成过渡矩阵$P$。具体地： - 对于$\beta_1$，系数为$(1,2,0)^T$； - 对于$\beta_2$，系数为$(0,2,3)^T$； - 对于$\beta_3$，系数为$(1,0,3)^T$。 因此过渡矩阵为 \[ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}. \] 该矩阵即为从基$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$到基$\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}$的过渡矩阵。对照选项，选项A与此矩阵一致，故正确答案为A。 验证：若取$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$为标准基$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$，则$\beta_1=(1,2,0)^T$，$\beta_2=(0,2,3)^T$，$\beta_3=(1,0,3)^T$，以这些向量为列构成的矩阵正是$P$，且$P$可逆（行列式$\det(P)=1\cdot(2\cdot3-0\cdot3)-0+1\cdot(2\cdot3-2\cdot0)=6+6=12\neq0$），满足过渡矩阵的定义。