💡 答案解析
**答案**: （B）．
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**解析**:
$\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=(-1)^{2 \times 2}|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|=6$ ，则
$$
\left(\begin{array}{ll}
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}
\end{array}\right)^{*}=\left|\begin{array}{ll}
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}
\end{array}\right|\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}
\end{array}\right)^{-1}=6\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\
\boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{O} & 6 \boldsymbol{B}^{-1} \\
6 \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{O} & 2 \boldsymbol{B}^{*} \\
3 \boldsymbol{A}^{*} & \boldsymbol{O}
\end{array}\right),
$$
应选（B）．
方法点评：本题需要熟练掌握如下知识点：
📋 详细解题步骤
目标：计算分块矩阵的行列式
已知分块矩阵 $M = \begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$，其中 $A$ 和 $B$ 均为 $2 \times 2$ 矩阵，且 $|A| = 2$，$|B| = 3$。我们需要计算 $|M|$。
对于形如 $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$ 的分块矩阵，其行列式有公式：
$$\begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A| \, |B|,$$
其中 $A$ 是 $m \times m$ 矩阵，$B$ 是 $n \times n$ 矩阵。这里 $A$ 和 $B$ 都是 $2 \times 2$ 矩阵，因此 $m = n = 2$。代入公式得：
$$|M| = (-1)^{2 \times 2} \times |A| \times |B| = (-1)^4 \times 2 \times 3 = 1 \times 6 = 6.$$
因此，分块矩阵的行列式为 $6$。
公式：$$\begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A| \, |B|$$
提示：注意公式中的指数 $mn$，$m$ 和 $n$ 分别是 $A$ 和 $B$ 的阶数。
目标：写出伴随矩阵与逆矩阵的关系
设原矩阵为 $A$，其行列式为 $|A|$，伴随矩阵记为 $A^*$，逆矩阵记为 $A^{-1}$。根据线性代数中伴随矩阵与逆矩阵的基本关系，有：
$$A^* = |A| \cdot A^{-1}$$
这一关系成立的前提是 $A$ 可逆，即 $|A| \neq 0$。
在本题中，矩阵 $A$ 是一个分块矩阵，记为 $\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$，其行列式已在前一步骤中计算得到 $|A| = 6$。因此，对于该分块矩阵，伴随矩阵与逆矩阵的关系具体写为：
$$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}^* = 6 \cdot \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}^{-1}$$
其中 $\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}^*$ 表示该分块矩阵的伴随矩阵，$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}^{-1}$ 表示其逆矩阵。
该关系式是后续步骤中求解伴随矩阵元素的关键桥梁。通过此关系，我们可以将求伴随矩阵的问题转化为求逆矩阵的问题，而逆矩阵可以通过分块矩阵求逆公式或初等变换等方法得到。
注意：此关系仅适用于方阵，且要求行列式不为零。本题中行列式为 $6 \neq 0$，因此关系成立。
公式：$$A^* = |A| \cdot A^{-1}$$
提示：牢记伴随矩阵与逆矩阵的转换公式，注意行列式在分母还是分子。
目标：求分块矩阵的逆矩阵
设矩阵 $M$ 为如下分块形式：
$$M = \begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$$
其中 $O$ 为零矩阵，$A$ 和 $B$ 均为可逆方阵。根据分块矩阵求逆公式，若 $M$ 可逆，则其逆矩阵为：
$$M^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}$$
**推导验证**：
计算 $M \cdot M^{-1}$：
$$M M^{-1} = \begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O \cdot O + A \cdot A^{-1} & O \cdot B^{-1} + A \cdot O \\ B \cdot O + O \cdot A^{-1} & B \cdot B^{-1} + O \cdot O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & O \\ O & I \end{pmatrix}$$
类似地，$M^{-1} M = I$，因此公式正确。
**本题应用**：
根据题目已知条件，$M = \begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$，其中 $A$ 和 $B$ 为可逆矩阵。直接代入公式得：
$$M^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}$$
注意分块矩阵的乘法顺序：左上角对应 $O$，右上角对应 $B^{-1}$，左下角对应 $A^{-1}$，右下角对应 $O$。
公式：$$\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}$$
提示：牢记公式：分块矩阵 $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$ 的逆中，$A^{-1}$ 和 $B^{-1}$ 位置互换。
目标：代入行列式并化简
已知分块矩阵 $M = \begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$，其中 $A$ 和 $B$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，$O$ 为 $n$ 阶零矩阵。根据前一步骤，已求得 $M$ 的逆矩阵为 $M^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}$。
现在需要计算 $|M|$，即矩阵 $M$ 的行列式。利用行列式的性质，对于分块矩阵，有公式 $\begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{n^2} |A| \cdot |B|$。但本题中我们采用另一种方法：将 $M$ 与 $M^{-1}$ 相乘，得到单位矩阵，然后两边取行列式。
由于 $M M^{-1} = I_{2n}$，两边取行列式得 $|M| \cdot |M^{-1}| = 1$。而 $|M^{-1}| = \begin{vmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{vmatrix}$。根据分块行列式公式，$\begin{vmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{vmatrix} = (-1)^{n^2} |B^{-1}| \cdot |A^{-1}| = (-1)^{n^2} \frac{1}{|B|} \cdot \frac{1}{|A|}$。
因此，$|M| \cdot \left[ (-1)^{n^2} \frac{1}{|A||B|} \right] = 1$，解得 $|M| = (-1)^{n^2} |A| \cdot |B|$。
注意：当 $n$ 为奇数时，$n^2$ 为奇数，$(-1)^{n^2} = -1$；当 $n$ 为偶数时，$n^2$ 为偶数，$(-1)^{n^2} = 1$。所以最终结果可写为 $|M| = (-1)^{n} |A| \cdot |B|$，因为 $n^2$ 与 $n$ 的奇偶性相同。
本步骤中，我们实际上已经完成了代入和化简，得到了 $|M|$ 的表达式。
公式：$$|M| = (-1)^{n^2} |A| \cdot |B| = (-1)^n |A| \cdot |B|$$
提示：注意分块矩阵行列式公式中符号因子的奇偶性，与矩阵阶数$n$有关。
目标：将逆矩阵转化为伴随矩阵
本步骤的目标是将上一步得到的矩阵 $\begin{pmatrix} O & 6B^{-1} \\ 6A^{-1} & O \end{pmatrix}$ 中的逆矩阵 $A^{-1}$ 和 $B^{-1}$ 分别用对应的伴随矩阵表示。
已知 $A$ 和 $B$ 均为 3 阶矩阵，且满足 $|A|=2$，$|B|=3$。根据逆矩阵与伴随矩阵的关系公式：$A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$，其中 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$|A|$ 是 $A$ 的行列式。
对于矩阵 $A$，有 $|A|=2$，因此 $A^{-1} = \frac{A^*}{2}$。于是 $6A^{-1} = 6 \times \frac{A^*}{2} = 3A^*$。
对于矩阵 $B$，有 $|B|=3$，因此 $B^{-1} = \frac{B^*}{3}$。于是 $6B^{-1} = 6 \times \frac{B^*}{3} = 2B^*$。
将上述结果代入原分块矩阵，得到：
$$
\begin{pmatrix} O & 6B^{-1} \\ 6A^{-1} & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O & 2B^* \\ 3A^* & O \end{pmatrix}.
$$
至此，原题所求的矩阵 $\begin{pmatrix} O & 2B^* \\ 3A^* & O \end{pmatrix}$ 已经得出。作为最后一步，我们验证最终答案：题目要求计算 $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}^{-1}$，经过分块求逆、代入行列式值、转化为伴随矩阵后，得到的结果为 $\begin{pmatrix} O & 2B^* \\ 3A^* & O \end{pmatrix}$，与标准答案一致。
公式：A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}, \quad 6A^{-1} = 3A^*, \quad 6B^{-1} = 2B^*
提示：注意伴随矩阵与逆矩阵的转换系数是行列式的倒数，代入时要仔细。