2009年考研数学一第13题

填空题 · 4分

📝 题目

若3维列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 满足 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=2$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}$ 的转置，则矩阵 $\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的非零特征值为 $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**: 2 ．

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**解析**:

令 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \cdot \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=2 \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=2 \boldsymbol{A}$ ． 令 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\lambda \boldsymbol{X}(\boldsymbol{X} \neq \mathbf{0})$ ，由 $\boldsymbol{A}^{2}=2 \boldsymbol{A}$ ，得 $\lambda^{2} \boldsymbol{X}=2 \lambda \boldsymbol{X}$ 或 $\left(\lambda^{2}-2 \lambda\right) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 。 因为 $\boldsymbol{X} \neq \mathbf{0}$ ，所以 $\lambda^{2}-2 \lambda=0$ ，故 $\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的非零特征值为 2 ． 方法点评：设 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n}\end{array}\right)$ ，且 $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=k(\neq 0)$ ． 若 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cccc}a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & \cdots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \cdots & a_{2} b_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n} b_{1} & a_{n} b_{2} & \cdots & a_{n} b_{n}\end{array}\right)$ ，设 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，则有：

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：构造矩阵并计算平方
首先，根据题目条件，令 $A = \beta \alpha^T$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 均为 $n$ 维列向量。我们需要计算 $A^2$。 计算 $A^2$ 如下： $$A^2 = (\beta \alpha^T)(\beta \alpha^T) = \beta (\alpha^T \beta) \alpha^T.$$ 这里，$\alpha^T \beta$ 是一个标量（内积），因为 $\alpha^T \beta$ 是行向量与列向量的乘积，结果为 $1 \times 1$ 矩阵，即一个数。由已知条件 $\alpha^T \beta = 2$，代入得： $$A^2 = \beta \cdot 2 \cdot \alpha^T = 2 \beta \alpha^T = 2A.$$ 因此，我们得到 $A^2 = 2A$，即矩阵 $A$ 满足 $A^2 - 2A = 0$，这是一个矩阵方程，为后续求特征值或矩阵幂打下基础。
公式：$$A^2 = \beta \alpha^T \beta \alpha^T = \beta (\alpha^T \beta) \alpha^T = 2 \beta \alpha^T = 2A$$
提示：注意 $\alpha^T\beta$ 是数，可以直接提到前面，简化计算。
步骤 2/3
目标：建立特征值方程
设矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda$，对应的非零特征向量为 $X$，则有 $A X = \lambda X$。已知条件 $A^2 = 2A$，将特征向量 $X$ 左乘 $A^2$ 得 $A^2 X = A(A X) = A(\lambda X) = \lambda (A X) = \lambda (\lambda X) = \lambda^2 X$。另一方面，由 $A^2 = 2A$ 可得 $A^2 X = 2A X = 2\lambda X$。因此有 $\lambda^2 X = 2\lambda X$，移项得 $(\lambda^2 - 2\lambda) X = 0$。由于 $X$ 是非零向量，故系数必须为零，即 $\lambda^2 - 2\lambda = 0$。这就是特征值 $\lambda$ 所满足的方程。
公式：$$\lambda^2 - 2\lambda = 0$$
提示：利用特征向量左乘矩阵等式，将矩阵方程转化为标量方程。
步骤 3/3
目标：求解特征值并筛选
由步骤2得到的方程 $X^T(\lambda^2 E - 2\lambda E)X = 0$，由于 $X \neq 0$，且 $\lambda^2 E - 2\lambda E = \lambda(\lambda - 2)E$ 是数量矩阵，因此方程等价于 $\lambda(\lambda - 2) \cdot X^T X = 0$。因为 $X^T X = \|X\|^2 > 0$（$X$ 为非零向量），所以必须有 $\lambda(\lambda - 2) = 0$。解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 2$。题目要求的是非零特征值，因此筛选出 $\lambda = 2$。最终答案为 $\boxed{2}$。验证：将 $\lambda = 2$ 代入原方程 $A^2 X = 2AX$，即 $A(AX) = 2(AX)$，说明 $AX$ 是 $A$ 的属于特征值 $2$ 的特征向量，与已知条件一致。
公式：$$\lambda(\lambda - 2) = 0 \Rightarrow \lambda = 0 \text{ 或 } \lambda = 2$$
提示：注意 $X^T X > 0$ 是约去的关键，最终只取非零特征值。

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