2009年考研数学一第12题

首先，观察积分区域 $\Omega$ 是球体 $x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2$（题目中未明确给出半径，但由对称性可知为球体）。由于球体关于坐标轴和坐标面具有高度对称性，且被积函数中 $x, y, z$ 的地位完全对称（即交换任意两个变量，积分区域不变，被积函数形式不变），因此三重积分 $\iiint_\Omega x^2 \, dV$、$\iiint_\Omega y^2 \, dV$ 和 $\iiint_\Omega z^2 \, dV$ 的值相等。 设 $I = \iiint_\Omega z^2 \, dV$，则 $\iiint_\Omega x^2 \, dV = \iiint_\Omega y^2 \, dV = I$。 于是，将三个积分相加得： $$\iiint_\Omega (x^2 + y^2 + z^2) \, dV = \iiint_\Omega x^2 \, dV + \iiint_\Omega y^2 \, dV + \iiint_\Omega z^2 \, dV = 3I.$$ 因此， $$I = \frac{1}{3} \iiint_\Omega (x^2 + y^2 + z^2) \, dV.$$ 这样，原本需要计算 $\iiint_\Omega z^2 \, dV$ 的问题转化为计算 $\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) \, dV$ 的三分之一。而 $x^2+y^2+z^2$ 在球坐标下恰好是 $r^2$，便于后续使用球坐标进行积分计算。这一步简化是后续计算的关键，避免了分别处理三个平方项，大大减少了计算量。

在球坐标系下，空间点 $(x,y,z)$ 与球坐标 $(r,\varphi,\theta)$ 的变换关系为： $$x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi,$$ 其中 $r \geq 0$，$0 \leq \varphi \leq \pi$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。 被积函数中的 $x^2+y^2+z^2$ 在球坐标下简化为 $r^2$，即 $$x^2+y^2+z^2 = r^2.$$ 体积元 $\mathrm{d}V = \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 在球坐标下的表达式为 $$\mathrm{d}V = r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.$$ 原积分区域为整个单位球体 $x^2+y^2+z^2 \leq 1$，在球坐标下对应的区域为： - 径向 $r$ 从 $0$ 到 $1$； - 极角 $\varphi$ 从 $0$ 到 $\pi$； - 方位角 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。 因此，原三重积分 $$\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2 \leq 1} (x^2+y^2+z^2)\,\mathrm{d}V$$ 转化为球坐标形式为： $$\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\varphi\int_{0}^{1} r^2 \cdot r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r = \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\int_{0}^{1} r^4\,\mathrm{d}r.$$ 至此，已将原积分转化为三个独立定积分的乘积形式，便于后续逐步计算。

本步骤计算三重积分 $\iiint (x^2 + y^2 + z^2) \, dV$。在球面坐标系中，积分区域为球体 $x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$，因此半径 $r$ 从 $0$ 到 $1$，极角 $\varphi$ 从 $0$ 到 $\pi$，方位角 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。被积函数 $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$，体积元 $dV = r^2 \sin\varphi \, dr \, d\varphi \, d\theta$。于是三重积分化为： $$ \iiint (x^2 + y^2 + z^2) \, dV = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} \sin\varphi \, d\varphi \int_{0}^{1} r^2 \cdot r^2 \, dr = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} \sin\varphi \, d\varphi \int_{0}^{1} r^4 \, dr. $$ 分别计算三个积分： - 对 $\theta$ 积分：$\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi$。 - 对 $\varphi$ 积分：$\int_{0}^{\pi} \sin\varphi \, d\varphi = [-\cos\varphi]_{0}^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$。 - 对 $r$ 积分：$\int_{0}^{1} r^4 \, dr = \left[ \frac{r^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}$。 将结果相乘： $$ \iiint (x^2 + y^2 + z^2) \, dV = 2\pi \times 2 \times \frac{1}{5} = \frac{4\pi}{5}. $$ 因此，三重积分的值为 $\frac{4\pi}{5}$。

由步骤1，原积分已转化为 $I = \frac{1}{3} \cdot \frac{4\pi}{5}$。 首先计算乘积： $$ I = \frac{1}{3} \times \frac{4\pi}{5} = \frac{4\pi}{15}. $$ 因此，所求积分的最终结果为 $\frac{4\pi}{15}$。 **验证**： - 检查计算过程：步骤1中已通过对称性和球坐标变换将三重积分化为 $\frac{1}{3} \iiint_{\Omega} (x^2+y^2+z^2) \, dV$，而 $\iiint_{\Omega} (x^2+y^2+z^2) \, dV$ 在半径为1的球体上等于 $\frac{4\pi}{5}$（利用球坐标积分 $\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi \int_0^1 r^4 \, dr = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\pi}{5}$）。 - 乘以 $\frac{1}{3}$ 后得 $\frac{4\pi}{15}$，数值约为 $0.837758$，量级合理。 - 积分区域为球体，被积函数非负，结果为正，符合预期。 最终答案：$\boxed{\dfrac{4\pi}{15}}$。