2009年考研数学一第14题

根据无偏估计的定义，若统计量$T$是参数$\theta$的无偏估计，则需满足$E(T)=\theta$。本题中，总体$X\sim B(1,p)$（即两点分布），$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自该总体的简单随机样本。设样本均值$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$，样本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2$。题目中给出的估计量为$\bar{X}+kS^2$，且已知该估计量是$np^2$的无偏估计。因此，由无偏性定义有： $$E(\bar{X}+kS^2)=np^2.$$ 这是本步骤的核心条件，后续步骤将利用该等式求解未知常数$k$。

已知总体 $X \sim B(n, p)$，即 $X$ 服从二项分布，其概率质量函数为 $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$，$k=0,1,\dots,n$。二项分布的期望为 $E(X) = np$。 设 $X_1, X_2, \dots, X_m$ 为来自该总体的简单随机样本，样本容量为 $m$。样本均值定义为 $\bar{X} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m X_i$。 根据期望的线性性质，对于任意常数 $a_i$ 和随机变量 $Y_i$，有 $E\left(\sum_{i=1}^m a_i Y_i\right) = \sum_{i=1}^m a_i E(Y_i)$。特别地，当 $a_i = \frac{1}{m}$ 时， $$ E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m X_i\right) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m E(X_i). $$ 由于每个 $X_i$ 与总体同分布，即 $X_i \sim B(n, p)$，所以 $E(X_i) = np$ 对 $i=1,2,\dots,m$ 均成立。代入上式得： $$ E(\bar{X}) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (np) = \frac{1}{m} \cdot m \cdot np = np. $$ 因此，样本均值的期望等于总体期望 $np$。这一结果说明样本均值是总体均值的无偏估计量。

根据数理统计的基本结论，样本方差 $S^2$ 是总体方差 $D(X)$ 的无偏估计量，即 $E(S^2) = D(X)$。本题中总体 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$，其方差为 $D(X) = np(1-p)$。因此，样本方差的期望直接等于总体方差： $$E(S^2) = np(1-p).$$ 为了更严谨地理解这一结果，我们可以从样本方差的定义出发进行推导。设 $X_1, X_2, \dots, X_m$ 为来自总体 $X \sim B(n, p)$ 的简单随机样本，样本容量为 $m$。样本方差定义为 $$S^2 = \frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^m (X_i - \bar{X})^2,$$ 其中 $\bar{X} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m X_i$ 为样本均值。由无偏性定理可知，对于任何总体，只要二阶矩存在，总有 $E(S^2) = D(X)$。由于二项分布的方差 $D(X) = np(1-p)$ 是有限常数，故 $E(S^2) = np(1-p)$ 成立。 在本题的上下文中，$n$ 和 $p$ 是已知参数，因此样本方差的期望是一个确定的数值。这一结果将用于后续步骤中计算统计量的期望或进行区间估计。

由前一步已知，样本均值$\bar{X}$的期望为$E(\bar{X})=np$，样本方差$S^2$的期望为$E(S^2)=np(1-p)$。题目要求$\bar{X}+kS^2$是$np^2$的无偏估计量，即满足期望方程： $$E(\bar{X}+kS^2)=np^2$$ 根据期望的线性性质，有： $$E(\bar{X}+kS^2)=E(\bar{X})+kE(S^2)=np + k\cdot np(1-p)$$ 因此得到方程： $$np + k\cdot np(1-p)=np^2$$ 由于$p>0$且$n>0$，两边同时除以$np$（$np\neq0$），得： $$1 + k(1-p)=p$$ 移项求解$k$： $$k(1-p)=p-1$$ $$k(1-p)=-(1-p)$$ 因为$p$是概率且$0

公式：$$np + k\cdot np(1-p)=np^2 \quad \Rightarrow \quad 1+k(1-p)=p \quad \Rightarrow \quad k=-1$$

提示：注意除以$np$前确认$np\neq0$，利用$p>0$简化运算。