2009年考研数学一第8题
📝 题目
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1), Y$ 的概率分布为 $P\{Y=0\}= P\{Y=1\}=\displaystyle\frac{1}{2}$ ．记 $F_{Z}(z)$ 为随机变量 $Z=X Y$ 的分布函数，则函数 $F_{Z}(z)$ 的间断点个数为（ ）
A
0．
B
1．
C
2．
D
3．
💡 答案解析
**答案**: （B）．
---
**解析**:
$$ \begin{array}{rl} & F_z(z)=P\{x y \leqslant z\} \\ = & P\{x y \leqslant z \mid y=0\} P\{y=0\}+P\{x y \leqslant z \mid y=1\} P\{y=1\} \\ = & \frac{1}{2}[P\{x y \leqslant z \mid y=0\}+P\{x y \leqslant z \mid y=1\}] . \end{array} $$ 由于 $x, y$ 相互独立，故 $F_Z(z)=\displaystyle\frac{1}{2}[P\{x \cdot 0 \leqslant z\}+P\{x \leqslant z\}]$ ． （1）若 $z<0$ ，则 $F_Z(z)=\displaystyle\frac{1}{2} \Phi(z)$ ， （2）若 $z \geqslant 0$ ，则 $F_Z(z)=\displaystyle\frac{1}{2}[1+\Phi(z)]$ ， 所以 $z=0$ 为间断点．故有一个间断点．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出Z的分布函数表达式
首先，由分布函数的定义，随机变量$Z=XY$的分布函数为$F_Z(z)=P\{XY\le z\}$。由于$Y$是离散型随机变量，取值为0和1，且已知$P\{Y=0\}=p$，$P\{Y=1\}=1-p$（其中$0
公式：$$F_Z(z)=\begin{cases}p+(1-p)F_X(z), & z\ge 0,\\(1-p)F_X(z), & z<0.\end{cases}$$
提示：注意Y=0时XY恒为0，条件概率仅取决于z是否非负。
步骤 2/4
目标：利用独立性和Y的分布化简
由全概率公式，随机变量 $Z=XY$ 的分布函数可写为：
$$F_Z(z)=P\{XY\le z\}=P\{XY\le z\mid Y=0\}P\{Y=0\}+P\{XY\le z\mid Y=1\}P\{Y=1\}.$$
已知 $Y$ 服从 $0-1$ 分布且 $P\{Y=0\}=P\{Y=1\}=\frac12$。由于 $X$ 与 $Y$ 相互独立，条件概率可转化为无条件概率：
- 当 $Y=0$ 时，$XY=0$，故 $P\{XY\le z\mid Y=0\}=P\{0\le z\}$。
- 当 $Y=1$ 时，$XY=X$，故 $P\{XY\le z\mid Y=1\}=P\{X\le z\}$。
代入得：
$$F_Z(z)=\frac12\bigl[P\{0\le z\}+P\{X\le z\}\bigr].$$
其中 $P\{0\le z\}$ 是一个关于 $z$ 的示性函数：当 $z\ge0$ 时值为 $1$，当 $z<0$ 时值为 $0$。$P\{X\le z\}$ 是随机变量 $X$ 的分布函数。此式将原问题转化为仅涉及 $X$ 的分布函数和一个常数项的组合，为后续代入 $X$ 的具体分布做好准备。
公式：F_Z(z)=\frac12\bigl[P\{0\le z\}+P\{X\le z\}\bigr]
提示：利用独立性将条件概率转化为无条件概率时，注意 $Y$ 取不同值后 $XY$ 的简化形式。
步骤 3/4
目标：分段讨论z的正负
本步骤的目标是根据随机变量$Z$的定义，分段讨论其分布函数$F_Z(z)$的表达式。已知$X$与$Y$相互独立，$X\sim N(0,1)$，$Y$服从参数为$\frac12$的0-1分布，且$Z=XY$。在之前的步骤中，我们已得到$F_Z(z)=P\{XY\le z\}$，并利用全概率公式将其表示为：
$$F_Z(z)=P\{Y=0\}P\{XY\le z\mid Y=0\}+P\{Y=1\}P\{XY\le z\mid Y=1\}.$$
由于$P\{Y=0\}=P\{Y=1\}=\frac12$，且当$Y=0$时$XY=0$，故$P\{XY\le z\mid Y=0\}=P\{0\le z\}$；当$Y=1$时$XY=X$，故$P\{XY\le z\mid Y=1\}=P\{X\le z\}=\Phi(z)$。因此：
$$F_Z(z)=\frac12\cdot P\{0\le z\}+\frac12\cdot\Phi(z).$$
现在需要分段讨论$P\{0\le z\}$的值。
**情况一：$z<0$**
当$z<0$时，事件$\{0\le z\}$表示“0小于等于一个负数”，这显然不可能发生，因此其概率为0，即$P\{0\le z\}=0$。代入上式得：
$$F_Z(z)=\frac12\cdot0+\frac12\cdot\Phi(z)=\frac12\Phi(z).$$
**情况二：$z\ge0$**
当$z\ge0$时，事件$\{0\le z\}$表示“0小于等于一个非负数”，这总是成立，因此其概率为1，即$P\{0\le z\}=1$。代入上式得：
$$F_Z(z)=\frac12\cdot1+\frac12\cdot\Phi(z)=\frac12[1+\Phi(z)].$$
综上，随机变量$Z$的分布函数为分段函数：
$$F_Z(z)=\begin{cases}
\frac12\Phi(z), & z<0,\\
\frac12[1+\Phi(z)], & z\ge0.
\end{cases}$$
注意，这里$\Phi(z)$是标准正态分布的分布函数，即$\Phi(z)=\int_{-\infty}^z\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt$。该分段结果体现了$Y$取0时带来的概率质量在$z=0$处的跳跃，以及$Y$取1时正态分布的贡献。
公式：F_Z(z)=\begin{cases}\frac12\Phi(z), & z<0,\\ \frac12[1+\Phi(z)], & z\ge0\end{cases}
提示：分段的关键是判断事件$\{0\le z\}$是否必然发生，注意$z$的符号。
步骤 4/4
目标：判断间断点个数
本步骤的目标是判断随机变量$Z$的分布函数$F_Z(z)$的间断点个数。根据前几步得到的分布函数表达式：
$$F_Z(z)=\begin{cases}
\frac12\Phi(z), & z<0,\\
\frac12[1+\Phi(z)], & z\ge0,
\end{cases}$$
其中$\Phi(z)$为标准正态分布函数。
我们需要考察$z=0$处是否连续。首先计算左极限$F_Z(0^-)$：
$$F_Z(0^-)=\lim_{z\to0^-}F_Z(z)=\frac12\Phi(0)=\frac12\times0.5=0.25.$$
再计算右极限$F_Z(0^+)$：
$$F_Z(0^+)=\lim_{z\to0^+}F_Z(z)=\frac12[1+\Phi(0)]=\frac12[1+0.5]=0.75.$$
由于$F_Z(0^-)=0.25\neq0.75=F_Z(0^+)$，左右极限不相等，因此$z=0$是$F_Z(z)$的跳跃间断点，跳跃度为$0.75-0.25=0.5$。
对于$z<0$和$z>0$的其他点，$\Phi(z)$是连续函数，故$F_Z(z)$在$z\neq0$处连续。因此，$F_Z(z)$有且仅有一个间断点，即$z=0$。
最终答案：间断点个数为1。
公式：$$F_Z(0^-)=\frac12\Phi(0)=0.25,\quad F_Z(0^+)=\frac12[1+\Phi(0)]=0.75$$
提示：注意分布函数在分段点处必须分别计算左右极限，并比较是否相等。
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