2009年考研数学一第9题

首先，观察题目所给的函数关系。已知函数 $z = f(x, xy)$，其中 $f$ 是二元可微函数。为了应用多元复合函数的求导法则，我们需要引入中间变量，将 $z$ 表示为关于中间变量的复合函数。 令 $u = x$，$v = xy$，则 $z = f(u, v)$。此时，$u$ 和 $v$ 都是自变量 $x$ 和 $y$ 的函数： - $u = x$，因此 $u$ 关于 $x$ 的偏导数为 $\frac{\partial u}{\partial x} = 1$，关于 $y$ 的偏导数为 $\frac{\partial u}{\partial y} = 0$。 - $v = xy$，因此 $v$ 关于 $x$ 的偏导数为 $\frac{\partial v}{\partial x} = y$，关于 $y$ 的偏导数为 $\frac{\partial v}{\partial y} = x$。 这样，原来的函数 $z = f(x, xy)$ 就转化成了复合函数 $z = f(u, v)$，其中 $u = x$，$v = xy$。这种表示方法清晰地揭示了函数的复合层次：$z$ 通过中间变量 $u$ 和 $v$ 间接依赖于 $x$ 和 $y$。 在后续步骤中，我们将利用这一复合关系，通过链式法则计算 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数。具体地，$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$。 因此，本步骤的核心是建立中间变量并明确复合关系，为后续求导奠定基础。

已知函数 $z = f(u, v)$，其中 $u = x + y$，$v = xy$。根据多元复合函数求导的链式法则，$z$ 对 $x$ 的偏导数等于 $z$ 对中间变量 $u$ 的偏导数乘以 $u$ 对 $x$ 的偏导数，再加上 $z$ 对中间变量 $v$ 的偏导数乘以 $v$ 对 $x$ 的偏导数。记 $f_1' = \frac{\partial f}{\partial u}$，$f_2' = \frac{\partial f}{\partial v}$，则链式法则公式为： $$\frac{\partial z}{\partial x} = f_1' \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_2' \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$$ 首先计算 $u$ 对 $x$ 的偏导数：$u = x + y$，将 $y$ 视为常数，得 $\frac{\partial u}{\partial x} = 1$。 其次计算 $v$ 对 $x$ 的偏导数：$v = xy$，将 $y$ 视为常数，得 $\frac{\partial v}{\partial x} = y$。 将上述结果代入链式法则公式： $$\frac{\partial z}{\partial x} = f_1' \cdot 1 + f_2' \cdot y = f_1' + y f_2'$$ 因此，一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的表达式为 $f_1' + y f_2'$。注意，这里的 $f_1'$ 和 $f_2'$ 仍然是关于 $u$ 和 $v$ 的函数，即 $f_1'(u, v)$ 和 $f_2'(u, v)$，而 $u = x + y$，$v = xy$。

已知 $z = f(xy, y)$，且已求得 $\frac{\partial z}{\partial x} = f_1' \cdot y + f_2' \cdot 0 = y f_1'$（注意：这里 $f$ 的第一个变量是 $xy$，第二个变量是 $y$，因此对 $x$ 求偏导时，$f_1'$ 表示 $f$ 对第一个中间变量的偏导，$f_2'$ 表示 $f$ 对第二个中间变量的偏导，且第二个中间变量 $y$ 与 $x$ 无关，故 $\frac{\partial z}{\partial x} = f_1' \cdot y$）。 现在对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 再求关于 $y$ 的偏导，即计算 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( y f_1' \right)$。 应用乘积法则：$\frac{\partial}{\partial y} (y f_1') = f_1' + y \cdot \frac{\partial f_1'}{\partial y}$。 接下来需要计算 $\frac{\partial f_1'}{\partial y}$。注意 $f_1'$ 是 $f$ 对第一个中间变量的偏导函数，它仍然是 $xy$ 和 $y$ 的函数，即 $f_1' = f_1'(xy, y)$。因此对 $y$ 求偏导时，需要用到链式法则： $$\frac{\partial f_1'}{\partial y} = f_{11}'' \cdot \frac{\partial (xy)}{\partial y} + f_{12}'' \cdot \frac{\partial y}{\partial y} = f_{11}'' \cdot x + f_{12}'' \cdot 1 = x f_{11}'' + f_{12}''$$ 其中 $f_{11}''$ 表示 $f$ 先对第一个变量求偏导，再对第一个变量求偏导；$f_{12}''$ 表示 $f$ 先对第一个变量求偏导，再对第二个变量求偏导。 代入上式得： $$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_1' + y \cdot (x f_{11}'' + f_{12}'') = f_1' + xy f_{11}'' + y f_{12}''$$ 因此，最终结果为： $$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_1' + xy f_{11}'' + y f_{12}''$$

本步骤的目标是计算偏导数 $\frac{\partial f_1'}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial f_2'}{\partial y}$，其中 $f_1'$ 和 $f_2'$ 是复合函数 $f(u,v)$ 的一阶偏导数，且中间变量为 $u=x$，$v=xy$。 首先，明确 $f_1'$ 和 $f_2'$ 的含义： - $f_1' = \frac{\partial f}{\partial u}$，记作 $f_u$； - $f_2' = \frac{\partial f}{\partial v}$，记作 $f_v$。 由于 $f$ 具有二阶连续偏导数，$f_u$ 和 $f_v$ 仍然是 $u$ 和 $v$ 的函数，而 $u=x$，$v=xy$，因此 $f_u$ 和 $f_v$ 是 $x$ 和 $y$ 的复合函数。我们需要对 $y$ 求偏导，此时 $x$ 视为常数。 **第一步：计算 $\frac{\partial f_1'}{\partial y}$** 由链式法则： $$ \frac{\partial f_1'}{\partial y} = \frac{\partial f_u}{\partial y} = \frac{\partial f_u}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f_u}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} $$ 其中： - $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial y} = 0$（因为 $x$ 与 $y$ 独立）； - $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial (xy)}{\partial y} = x$； - $\frac{\partial f_u}{\partial u} = f_{uu}$，记作 $f_{11}''$； - $\frac{\partial f_u}{\partial v} = f_{uv}$，记作 $f_{12}''$。 代入得： $$ \frac{\partial f_1'}{\partial y} = f_{11}'' \cdot 0 + f_{12}'' \cdot x = x f_{12}'' $$ **第二步：计算 $\frac{\partial f_2'}{\partial y}$** 类似地： $$ \frac{\partial f_2'}{\partial y} = \frac{\partial f_v}{\partial y} = \frac{\partial f_v}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f_v}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} $$ 其中： - $\frac{\partial f_v}{\partial u} = f_{vu}$，记作 $f_{21}''$； - $\frac{\partial f_v}{\partial v} = f_{vv}$，记作 $f_{22}''$。 代入得： $$ \frac{\partial f_2'}{\partial y} = f_{21}'' \cdot 0 + f_{22}'' \cdot x = x f_{22}'' $$ 由于 $f$ 具有二阶连续偏导数，混合偏导数与求导顺序无关，即 $f_{12}'' = f_{21}''$。 因此，最终结果为： $$ \frac{\partial f_1'}{\partial y} = x f_{12}'' \quad,\quad \frac{\partial f_2'}{\partial y} = x f_{22}'' $$ 注意：这里的 $f_{12}''$ 和 $f_{22}''$ 仍然是 $u=x$ 和 $v=xy$ 的函数，在后续步骤中需要进一步代入具体表达式。

将第4步求得的两个偏导数代入第3步的表达式。第3步已得到： $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = x f_{12}'' + f_2' + y \cdot \frac{\partial f_2'}{\partial y} $$ 其中 $f_2' = \frac{\partial f}{\partial v}$，$f_{12}'' = \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}$。 第4步已计算出： $$ \frac{\partial f_1'}{\partial y} = x f_{12}'' + f_{22}'' $$ $$ \frac{\partial f_2'}{\partial y} = x f_{22}'' $$ 将 $\frac{\partial f_2'}{\partial y} = x f_{22}''$ 代入第3步表达式中的 $\frac{\partial f_2'}{\partial y}$ 项，得到： $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = x f_{12}'' + f_2' + y \cdot (x f_{22}'') $$ 整理合并同类项，注意 $x f_{12}''$ 与 $x y f_{22}''$ 不是同类项（前者不含 $y$，后者含 $y$），因此最终结果为： $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = x f_{12}'' + f_2' + x y f_{22}'' $$ 此即为所求的混合偏导数。验证：该结果中 $f_{12}''$ 和 $f_{22}''$ 均为 $f(u,v)$ 的二阶偏导数，$f_2'$ 为一阶偏导数，自变量 $u = xy$，$v = x + y$ 已隐含在函数记号中。最终答案形式简洁，符合复合函数求导的链式法则。