2009年考研数学一第23题

首先，根据题目信息，总体 $X$ 的概率密度函数为 $f(x) = \lambda^2 x e^{-\lambda x}, x > 0$，其中 $\lambda > 0$ 是未知参数。总体期望 $E(X)$ 的定义为 $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$。由于 $f(x)$ 在 $x \leq 0$ 时为零，因此积分区间为 $(0, +\infty)$。代入 $f(x)$ 得： $$E(X) = \int_0^{+\infty} x \cdot \lambda^2 x e^{-\lambda x} dx = \lambda^2 \int_0^{+\infty} x^2 e^{-\lambda x} dx.$$ 计算该积分，可利用伽马函数 $\Gamma(n) = \int_0^{+\infty} t^{n-1} e^{-t} dt$，其中 $\Gamma(n) = (n-1)!$ 对于正整数 $n$。令 $t = \lambda x$，则 $x = t/\lambda$，$dx = dt/\lambda$，积分限不变。于是： $$\int_0^{+\infty} x^2 e^{-\lambda x} dx = \int_0^{+\infty} \left(\frac{t}{\lambda}\right)^2 e^{-t} \cdot \frac{dt}{\lambda} = \frac{1}{\lambda^3} \int_0^{+\infty} t^2 e^{-t} dt = \frac{1}{\lambda^3} \Gamma(3) = \frac{1}{\lambda^3} \cdot 2! = \frac{2}{\lambda^3}.$$ 因此， $$E(X) = \lambda^2 \cdot \frac{2}{\lambda^3} = \frac{2}{\lambda}.$$ 所以总体期望 $E(X) = \frac{2}{\lambda}$。

已知似然函数为 $L(\lambda) = \lambda^{2n} e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i} \prod_{i=1}^n x_i$。为了简化极大化似然函数的计算，通常对似然函数取自然对数，因为对数函数是单调递增的，所以使对数似然函数达到最大的参数值与原似然函数相同。对似然函数两边取自然对数得： $$ \ln L(\lambda) = \ln\left( \lambda^{2n} e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i} \prod_{i=1}^n x_i \right). $$ 利用对数运算法则：乘积的对数等于对数之和，幂的对数等于指数乘对数，指数函数的对数等于指数本身。因此： $$ \ln L(\lambda) = \ln(\lambda^{2n}) + \ln\left(e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i}\right) + \ln\left(\prod_{i=1}^n x_i\right). $$ 分别计算各项： - $\ln(\lambda^{2n}) = 2n \ln \lambda$； - $\ln\left(e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i}\right) = -\lambda \sum_{i=1}^n x_i$； - $\ln\left(\prod_{i=1}^n x_i\right) = \sum_{i=1}^n \ln x_i$。 合并得到对数似然函数： $$ \ln L(\lambda) = 2n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^n x_i + \sum_{i=1}^n \ln x_i. $$ 注意：最后一项 $\sum_{i=1}^n \ln x_i$ 与参数 $\lambda$ 无关，在后续对 $\lambda$ 求导求极值时可以视为常数项。

我们已经得到对数似然函数为： $$ \ln L(\lambda) = 2n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^n x_i. $$ 现在对参数 $\lambda$ 求导。由于 $\ln L$ 是 $\lambda$ 的可微函数，我们直接计算导数： $$ \frac{d\ln L}{d\lambda} = \frac{2n}{\lambda} - \sum_{i=1}^n x_i. $$ 这里，第一项 $\frac{2n}{\lambda}$ 来自对 $2n\ln\lambda$ 求导（$\frac{d}{d\lambda}(2n\ln\lambda) = \frac{2n}{\lambda}$），第二项 $-\sum_{i=1}^n x_i$ 来自对 $-\lambda\sum_{i=1}^n x_i$ 求导（$\frac{d}{d\lambda}(-\lambda\sum x_i) = -\sum x_i$）。 为了找到极大似然估计，我们令导数为零： $$ \frac{2n}{\lambda} - \sum_{i=1}^n x_i = 0. $$ 这是一个关于 $\lambda$ 的方程。注意 $\lambda > 0$，且样本观测值 $x_i > 0$，因此方程有唯一解。

由步骤5得到的似然方程： $$ \frac{2n}{\lambda} - \sum_{i=1}^n x_i = 0 $$ 将方程中的常数项移到等号右边： $$ \frac{2n}{\lambda} = \sum_{i=1}^n x_i $$ 两边同时乘以 $\lambda$ 得： $$ 2n = \lambda \sum_{i=1}^n x_i $$ 解得： $$ \lambda = \frac{2n}{\sum_{i=1}^n x_i} $$ 记样本均值为 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$，则上式可写为： $$ \lambda = \frac{2}{\bar{x}} $$ 因此，参数 $\lambda$ 的最大似然估计量为： $$ \hat{\lambda}_2 = \frac{2}{\bar{X}} $$ 其中 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 为样本均值。 **验证**：由于似然函数 $L(\lambda) = \lambda^{2n} \prod_{i=1}^n x_i e^{-\lambda \sum x_i}$ 在 $\lambda>0$ 时是凹函数（二阶导数 $\frac{\partial^2 \ln L}{\partial \lambda^2} = -\frac{2n}{\lambda^2} < 0$），故该解为全局最大值点，所得估计量即为最大似然估计量。 **最终答案**：$\hat{\lambda}_2 = \frac{2}{\bar{X}}$。