2009年考研数学一第21题

解答题 · 11分

📝 题目

设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ．（I）求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值；（II）若二次型 $f$ 的规范形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值．

💡 答案解析

**答案**: 见解析

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**解析**:

（ I ）二次型的矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & 0 & 1 \\ 0 & a & -1 \\ 1 & -1 & a-1\end{array}\right)$ ，由 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-a & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-a & 1 \\ -1 & 1 & \lambda-a+1\end{array}\right|=(\lambda-a)[\lambda-(a+1)][\lambda-(a-2)]=0$ ，得 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=a, \lambda_{2}=a+1, \lambda_{3}=a-2$ ．（II）方法一由于 $f$ 的规范形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，所以 $\boldsymbol{A}$ 合同于 $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，其秩为 2 ，于是 $|\boldsymbol{A}|=\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3}=0$ ，故 $a=0$ 或 $a=-1$ 或 $a=2$ 。当 $a=0$ 时，$\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-2$ ，此时 $f$ 的规范形为 $y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$ ，不合题意；当 $a=-1$ 时，$\lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=0, \lambda_{3}=-3$ ，此时 $f$ 的规范形为 $-y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$ ，不合题意；当 $a=2$ 时，$\lambda_{1}=2, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=0$ ，此时 $f$ 的规范形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ．综上可知，$a=2$ 。方法二由于 $f$ 的规范形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，所以 $\boldsymbol{A}$ 的特征值有 2 个为正数， 1 个为零，因为 $a-2\lt a\lt a+1$ ，所以 $a=2$ 。

📋 详细解题步骤

步骤 1/7

目标：写出二次型对应的矩阵

已知二次型为 $f(x_1,x_2,x_3)=x^\mathrm{T}Ax$，其中 $A$ 为实对称矩阵。二次型的一般形式为： $$f = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + a_{33}x_3^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3.$$ 根据题目给出的二次型（此处假设题目中二次型为 $f = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$，实际以原题为准），我们提取各项系数： - 平方项系数：$x_1^2$ 系数为 $1$，$x_2^2$ 系数为 $1$，$x_3^2$ 系数为 $1$，因此 $a_{11}=1,\,a_{22}=1,\,a_{33}=1$。 - 交叉项系数：$x_1x_2$ 系数为 $2$，根据对称矩阵的约定，$2a_{12}=2$，所以 $a_{12}=1$；同理 $x_1x_3$ 系数为 $2$，得 $a_{13}=1$；$x_2x_3$ 系数为 $2$，得 $a_{23}=1$。于是对称矩阵 $A$ 为： $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$ 注意：交叉项系数必须平分给对称位置的两个元素，即 $a_{ij}=a_{ji}$ 等于交叉项系数的一半。

公式：A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

提示：交叉项系数平分给两个对称元素，平方项系数直接放在对角线上。

步骤 2/7

目标：计算特征多项式

已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。特征多项式定义为 $f(\lambda) = |\lambda E - A|$，其中 $E$ 是3阶单位矩阵。首先构造矩阵 $\lambda E - A$： $$ \lambda E - A = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ 1 & \lambda & -1 \\ -1 & -1 & \lambda \end{pmatrix}. $$ 计算行列式 $|\lambda E - A|$： $$ \begin{vmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ 1 & \lambda & -1 \\ -1 & -1 & \lambda \end{vmatrix}. $$ 按第一行展开： $$ \begin{aligned} |\lambda E - A| &= \lambda \cdot \begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ -1 & \lambda \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \lambda \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ -1 & -1 \end{vmatrix} \\ &= \lambda (\lambda \cdot \lambda - (-1)(-1)) - 1 (1 \cdot \lambda - (-1)(-1)) - 1 (1 \cdot (-1) - \lambda \cdot (-1)) \\ &= \lambda (\lambda^2 - 1) - 1 (\lambda - 1) - 1 (-1 + \lambda) \\ &= \lambda^3 - \lambda - \lambda + 1 + 1 - \lambda \\ &= \lambda^3 - 3\lambda + 2. \end{aligned} $$ 因此特征多项式为 $f(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda + 2$。

公式：$$f(\lambda) = |\lambda E - A| = \lambda^3 - 3\lambda + 2$$

提示：按第一行展开时，注意每个元素的代数余子式符号为$(-1)^{i+j}$。

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