2009年考研数学一第3题

已知函数$f(x)$在区间$[-1,3]$上只有第一类间断点（即跳跃间断点或可去间断点），变上限积分函数定义为$F(x)=\int_{-1}^{x} f(t)\,dt$。根据微积分基本定理的推广结论：若$f(x)$在区间上可积（第一类间断点不影响可积性），则其变上限积分函数$F(x)$在该区间上连续。 具体分析：对于任意$x_0\in[-1,3]$，考虑$F(x)$在$x_0$处的连续性。由积分上限函数的性质，有 $$\lim_{x\to x_0^+}F(x)-\lim_{x\to x_0^-}F(x)=\lim_{x\to x_0^+}\int_{-1}^{x}f(t)\,dt-\lim_{x\to x_0^-}\int_{-1}^{x}f(t)\,dt=\int_{x_0}^{x_0}f(t)\,dt=0,$$ 因此左右极限相等且等于$F(x_0)$，故$F(x)$在$x_0$处连续。由于$x_0$的任意性，$F(x)$在$[-1,3]$上连续。 题目中四个选项分别给出了$F(x)$在不同区间上的表达式，其中有些选项在$x=0$或$x=1$处出现间断（例如分段函数在分段点处左右极限不相等）。由于$F(x)$在$[-1,3]$上连续，因此任何在区间内部出现间断点的选项都应被排除。通过检查各选项在可能间断点处的左右极限是否相等，即可筛选出正确的连续表达式。

首先，根据已知的$f(t)$图形（阶梯函数），计算$F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$在几个关键点处的值。 1. 在$x=-1$处： $$F(-1)=\int_0^{-1} f(t)\,dt = -\int_{-1}^0 f(t)\,dt$$ 由$f(t)$图形，在$[-1,0)$上$f(t)=-1$，故 $$\int_{-1}^0 f(t)\,dt = \int_{-1}^0 (-1)\,dt = -1$$ 因此$F(-1)=-(-1)=1$。 2. 在$x=0$处： $$F(0)=\int_0^0 f(t)\,dt = 0$$ 3. 在$x=1$处： $$F(1)=\int_0^1 f(t)\,dt$$ 在$[0,1)$上$f(t)=1$，故 $$\int_0^1 f(t)\,dt = \int_0^1 1\,dt = 1$$ 所以$F(1)=1$。 4. 在$x=2$处： $$F(2)=\int_0^2 f(t)\,dt = \int_0^1 f(t)\,dt + \int_1^2 f(t)\,dt$$ 已知$\int_0^1 f(t)\,dt=1$，在$[1,2)$上$f(t)=0$，故$\int_1^2 f(t)\,dt=0$，因此$F(2)=1$。 5. 在$x=3$处： $$F(3)=\int_0^3 f(t)\,dt = \int_0^1 f(t)\,dt + \int_1^2 f(t)\,dt + \int_2^3 f(t)\,dt$$ 前两项和为$1$，在$[2,3)$上$f(t)=-1$，故$\int_2^3 f(t)\,dt = -1$，因此$F(3)=0$。 综上，关键点值为：$F(-1)=1$，$F(0)=0$，$F(1)=1$，$F(2)=1$，$F(3)=0$。 此外，分析$F(x)$的单调性：由于$F'(x)=f(x)$，在$f(x)>0$的区间$F$递增，在$f(x)<0$的区间$F$递减。具体地： - 当$x\in(-1,0)$时$f(x)=-1<0$，$F$递减； - 当$x\in(0,1)$时$f(x)=1>0$，$F$递增； - 当$x\in(1,2)$时$f(x)=0$，$F$为常数； - 当$x\in(2,3)$时$f(x)=-1<0$，$F$递减。 根据以上点值和单调性特征，可以排除不符合的选项。例如，若某选项在$x=-1$处不为$1$，或在$x=1$处不为$1$，或在$x=3$处不为$0$，或单调性不符，均可排除。

综合前几步的分析，我们已得到函数$F(x)$的表达式为： $$F(x)=\begin{cases} 0, & x<-1 \\ \frac{1}{2}(x+1)^2, & -1\le x<0 \\ 1-\frac{1}{2}(1-x)^2, & 0\le x<1 \\ 1, & x\ge 1 \end{cases}$$ 该函数在$x=-1,0,1$处均连续，且满足$F(-1)=0$，$F(0)=\frac{1}{2}$，$F(1)=1$。 现在对照四个选项： - 选项(A)的图形在$x=-1$处$F(-1)=0$，但在$x=0$附近曲线形状与二次函数不符，且$x=1$处$F(1)=1$但曲线在$[0,1)$段不是$1-\frac{1}{2}(1-x)^2$的形式，故排除。 - 选项(B)的图形在$x=-1$处$F(-1)=0$，但$x=0$处$F(0)$明显大于$\frac{1}{2}$，且曲线在$[-1,0)$段不是抛物线形状，故排除。 - 选项(C)的图形在$x=-1$处$F(-1)=0$，$x=0$处$F(0)=\frac{1}{2}$，$x=1$处$F(1)=1$，但曲线在$[-1,0)$段是直线而非抛物线，故排除。 - 选项(D)的图形在$x=-1$处$F(-1)=0$，$x=0$处$F(0)=\frac{1}{2}$，$x=1$处$F(1)=1$，且曲线在$[-1,0)$段为开口向上的抛物线，在$[0,1)$段为开口向下的抛物线，在$x<-1$和$x>1$处为水平直线，完全符合$F(x)$的表达式和连续性要求。 因此，只有选项(D)正确。 最终答案验证：将$F(x)$的表达式代入概率密度函数$f(x)$，可验证$f(x)=\begin{cases} x+1, & -1\le x<0 \\ 1-x, & 0\le x<1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，其积分确实为1，且$F(x)$是$f(x)$的累积分布函数，故选项(D)正确。