2013年考研数学三第5题

选择题 · 4分

📝 题目

设 $\boldsymbol{A}, ~ \boldsymbol{B}, ~ \boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶矩阵。若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$ ，且 $\boldsymbol{B}$ 可逆，则

矩阵 $\mathbf{C}$ 的行向量组与矩阵 $\mathbf{A}$ 的行向量组等价。

矩阵 $\mathbf{C}$ 的列向量组与矩阵 $\mathbf{A}$ 的列向量组等价。

矩阵 $\mathbf{C}$ 的行向量组与矩阵 $\mathbf{B}$ 的行向量组等价。

矩阵 $\mathbf{C}$ 的列向量组与矩阵 $\mathbf{B}$ 的列向量组等价。

💡 答案解析

**答案**: （B）．

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**解析**:

令 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cccc}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n n}\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}\right)$ ，由 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$ 得

$$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{\gamma}_{1}=b_{11} \boldsymbol{\alpha}_{1}+b_{21} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+b_{n 1} \boldsymbol{\alpha}_{n}, \\ \boldsymbol{\gamma}_{2}=b_{12} \boldsymbol{\alpha}_{1}+b_{22} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+b_{n 2} \boldsymbol{\alpha}_{n}, \\ \vdots \\ \boldsymbol{\gamma}_{n}=b_{1 n} \boldsymbol{\alpha}_{1}+b_{2 n} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+b_{n n} \boldsymbol{\alpha}_{n}, \end{array}\right. $$

即矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组可由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性表示；因为 $\boldsymbol{B}$ 可逆，所以由 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$ 得 $\boldsymbol{C B}^{-1}=\boldsymbol{A}$ ，同理可得矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组可由矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组线性表示，即 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{C}$ 列向量组等价，应选（B）。

📋 详细解题步骤

步骤 1/3

目标：将矩阵按列分块，写出乘法关系

设矩阵 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times n$ 矩阵，$C$ 为 $m \times n$ 矩阵，且满足 $AB = C$。将 $A$ 按列分块为 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$，其中 $\alpha_j$ 是 $A$ 的第 $j$ 列（$m$ 维列向量）。将 $B$ 的元素记为 $B = (b_{ij})$，其中 $i$ 为行指标，$j$ 为列指标。将 $C$ 按列分块为 $C = (\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n)$，其中 $\gamma_j$ 是 $C$ 的第 $j$ 列（$m$ 维列向量）。根据矩阵乘法的定义，$C$ 的第 $j$ 列 $\gamma_j$ 等于 $A$ 乘以 $B$ 的第 $j$ 列，即 $$\gamma_j = A \begin{pmatrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{nj} \end{pmatrix} = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) \begin{pmatrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{nj} \end{pmatrix}.$$ 利用矩阵与列向量的乘法规则，上式可展开为 $$\gamma_j = b_{1j} \alpha_1 + b_{2j} \alpha_2 + \cdots + b_{nj} \alpha_n.$$ 这个等式表明：$C$ 的每一列 $\gamma_j$ 都是 $A$ 的列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 的线性组合，组合系数恰好是 $B$ 的第 $j$ 列元素 $b_{1j}, b_{2j}, \dots, b_{nj}$。因此，$C$ 的列向量组 $\{\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n\}$ 可由 $A$ 的列向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}$ 线性表示。这一关系是后续分析矩阵秩、线性相关性等问题的基础。

公式：$$\gamma_j = b_{1j}\alpha_1 + b_{2j}\alpha_2 + \cdots + b_{nj}\alpha_n$$

提示：注意列分块时，$B$ 的第 $j$ 列元素作为组合系数。

步骤 2/3

目标：利用 B 可逆反解出 A

已知 $AB = C$，且矩阵 $B$ 可逆。根据矩阵乘法的性质，若在等式两边同时右乘 $B^{-1}$，则得到 $A = C B^{-1}$。具体推导如下：由 $AB = C$，两边右乘 $B^{-1}$ 得： $$(AB)B^{-1} = C B^{-1}$$ 由于矩阵乘法满足结合律，左边化为 $A(B B^{-1}) = A I = A$，因此 $$A = C B^{-1}.$$ 这一表达式揭示了 $A$ 与 $C$ 之间的关系：$A$ 的每一列都是 $C$ 的各列的线性组合，组合系数由 $B^{-1}$ 的对应列给出。具体地，设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$，$C = (\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n)$，$B^{-1} = (b_{ij}')$，则 $$\alpha_j = \sum_{i=1}^n b_{ij}' \gamma_i, \quad j=1,2,\dots,n.$$ 这说明 $A$ 的列向量组可由 $C$ 的列向量组线性表示，即 $\mathrm{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\} \subseteq \mathrm{span}\{\gamma_1,\dots,\gamma_n\}$。由于 $B$ 可逆，$B^{-1}$ 存在且唯一，因此 $A$ 被唯一确定。这一步骤为后续分析 $A$ 与 $C$ 的秩、列空间等性质奠定了基础。

公式：A = C B^{-1}

提示：注意右乘与左乘的区别，利用结合律化简时保持顺序不变。

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