当 $x \rightarrow 0$ 时，用＂$o(x)$＂表示比 $x$ 高阶的无穷小量，则下列式子中错误的是
函数 $f(x)=\displaystyle\frac{|x|^{x}-1}{x(x+1) \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为
设 $D_{k}$ 是圆域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 位于第 $k$ 象限的部分。记 $I_{k}=\iint_{D_{k}}(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y(k=1,2,3$ ， 4），则 $(\mathrm{C}) I_{3}\gt 0$.
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 为正项数列，下列选项正确的是（
设 $\boldsymbol{A}, ~ \boldsymbol{B}, ~ \boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶矩阵。若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$ ，且 $\boldsymbol{B}$ 可逆，则
矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为
设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 是随机变量，且 $X_{1} \sim N(0,1), X_{2} \sim N\left(0,2^{2}\right), X_{3} \sim N\left(5,3^{2}\right), p_{i}=P\left\{-2 \leqslant X_{i} \leqslant 2\right\} (i=1,2,3)$ ，则
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X$ 和 $Y$ 的概率分布分别为
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| $P$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | $\displaystyle\frac{1}{4}$ | $\displaystyle\frac{1}{8}$ | $\displaystyle\frac{1}{8}$ |
| $Y$ | -1 | 0 | 1 |
| $P$ | $\displaystyle\frac{1}{3}$ | $\displaystyle\frac{1}{3}$ | $\displaystyle\frac{1}{3}$ |
则 $P\{X+Y=2\}=(\quad)$
设曲线 $y=f(x)$ 与 $y=x^{2}-x$ 在点 $(1,0)$ 处有公共切线，则 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\displaystyle\frac{n}{n+2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $(z+y)^{x}=x y$ 确定，则 $\left.\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}+\displaystyle\frac{1}{4} y=0$ 的通解为 $y=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是 3 阶非零矩阵，$|\boldsymbol{A}|$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的行列式，$A_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式。若 $a_{i j}+A_{i j}=0 (i, j=1,2,3)$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=$ $\_\_\_\_$ ．
当 $x \rightarrow 0$ 时， $1-\cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x$ 与 $a x^{n}$ 为等价无穷小量，求 $n$ 与 $a$ 的值．
设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\displaystyle\frac{1}{3}}$ ，直线 $x=a(a\gt 0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，$V_{x}, V_{y}$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴， $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积．若 $V_{y}=10 V_{x}$ ，求 $a$ 的值．
设平面区域 $D$ 由直线 $x=3 y, y=3 x$ 及 $x+y=8$ 围成，计算 $\iint_{D} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
设生产某商品的固定成本为 60000 元，可变成本为 20 元／件，价格函数为 $p=60-\displaystyle\frac{Q}{1000}$ （ $p$ 是单价，单位：元；$Q$ 是销量，单位：件）。已知产销平衡，求： （I）该商品的边际利润； （II）当 $p=50$ 时的边际利润，并解释其经济意义； （III）使得利润最大的定价 $p$ 。
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，$f(0)=0$ 且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2$ 。证明： （ I ）存在 $a\gt 0$ ，使得 $f(a)=1$ ； （II）对（I）中的 $a$ ，存在 $\xi \in(0, a)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\displaystyle\frac{1}{a}$ ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$ ．当 $a, b$ 为何值时，存在矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}-\boldsymbol{C} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$ ，并求所有矩阵 $\boldsymbol{C}$ 。
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+a_{3} x_{3}\right)^{2}+\left(b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+b_{3} x_{3}\right)^{2}$ ，记
$$
\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3}
\end{array}\right) .
$$
（I）证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ；
（II）若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ．
设 $(X, Y)$ 是二维随机变量，$X$ 的边缘概率密度为 $f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}3 x^{2}, & 0\lt x\lt 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 在给定 $X=x$
$(0\lt x\lt 1)$ 的条件下 $Y$ 的条件概率密度为
$$
f_{Y \mid X}(y \mid x)= \begin{cases}\frac{3 y^{2}}{x^{3}}, & 0\lt y\lt x, ~ \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
（I）求 $(X, Y)$ 的概率密度 $f(x, y)$ ；
（II）求 $Y$ 的边缘概率密度 $f_{Y}(y)$ ；
（III）求 $P\{X\gt 2 Y\}$ 。
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{\theta^{2}}{x^{3}} \mathrm{e}^{-\frac{\theta}{x}}, & x\gt 0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta$ 为末知参数且大于零。 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本．
（I）求 $\theta$ 的矩估计量；
（II）求 $\theta$ 的最大似然估计量．