2013年考研数学三第21题
📝 题目
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+a_{3} x_{3}\right)^{2}+\left(b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+b_{3} x_{3}\right)^{2}$ ，记
$$
\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3}
\end{array}\right) .
$$
（I）证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ；
（II）若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ．
💡 答案解析
好的，下面我将完整地解答这个题目，并使用 LaTeX 格式书写公式。 两个部分的证明我会写得细致而规范。
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**题目：** 设二次型 \[ f(x_1,x_2,x_3)=2(a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3)^2+(b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3)^2, \] 记 \[ \boldsymbol{\alpha}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix},\quad \boldsymbol{\beta}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}. \]
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### （I）证明二次型 \( f \) 对应的矩阵为 \( 2\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \)
**证明：** 令 \[ \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3)^{\mathrm{T}}. \] 那么 \[ a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3 = \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{x}, \] \[ b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3 = \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{x}. \] 因此 \[ f(\boldsymbol{x}) = 2(\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{x})^2+(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{x})^2. \] 对于任意列向量 \(\boldsymbol{u}\)，有 \((\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{x})^2 = \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}})\boldsymbol{x}\)。 于是 \[ f(\boldsymbol{x}) = 2\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}})\boldsymbol{x} + \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \big( 2\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} + \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \big) \boldsymbol{x}. \] 因为 \( \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \) 和 \(\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\) 都是对称矩阵，所以 \[ \boldsymbol{A} = 2\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \] 是对称矩阵，并且正是该二次型所对应的矩阵。证毕。
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### （II）若 \(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\) 正交且均为单位向量，证明 \( f \) 在正交变换下的标准形为 \( 2y_1^2 + y_2^2 \)
**证明：** 已知 \[ \boldsymbol{A} = 2\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}. \] 由于 \(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\) 是标准正交的单位向量，即 \[ \|\boldsymbol{\alpha}\| = 1,\quad \|\boldsymbol{\beta}\| = 1,\quad \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\beta} = 0. \] 现在求矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值与特征向量。
首先考虑向量 \(\boldsymbol{\alpha}\)： \[ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha} = 2\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha} = 2\boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}) + \boldsymbol{\beta}(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}). \] 因为 \(\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha} = 1\)，且 \(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}=0\)，所以 \[ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha} = 2\boldsymbol{\alpha}. \] 因此 \(\boldsymbol{\alpha}\) 是特征向量，对应特征值 \(2\)。
接着考虑向量 \(\boldsymbol{\beta}\)： \[ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta} = 2\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\beta} = 2\boldsymbol{\alpha}(0) + \boldsymbol{\beta}(1) = \boldsymbol{\beta}. \] 因此 \(\boldsymbol{\beta}\) 是特征向量，对应特征值 \(1\)。
由于 \(\boldsymbol{A}\) 是 \(3\times3\) 对称矩阵，必定还有第三个正交的特征向量。取 \(\boldsymbol{\gamma}\) 为与 \(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\) 都正交的单位向量（例如取 \(\boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{\beta}\) 并单位化）。那么 \[ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\gamma} = 2\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\gamma} + \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\gamma} = 2\boldsymbol{\alpha}(0)+\boldsymbol{\beta}(0)=\boldsymbol{0}. \] 因此第三个特征值为 \(0\)。
所以 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值为 \(2, 1, 0\)。 从而在正交变换下（取由 \(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}\) 构成的标准正交基为新的坐标基），二次型化为 \[ 2 y_1^2 + 1\cdot y_2^2 + 0\cdot y_3^2 = 2y_1^2 + y_2^2. \] 证毕。
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**最终答案：** （I）的矩阵即为 \( 2\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \)； （II）在正交变换下标准形为 \(2y_1^2+y_2^2\)。