2013年考研数学三第22题
📝 题目
设 $(X, Y)$ 是二维随机变量，$X$ 的边缘概率密度为 $f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}3 x^{2}, & 0\lt x\lt 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 在给定 $X=x$
$(0\lt x\lt 1)$ 的条件下 $Y$ 的条件概率密度为
$$
f_{Y \mid X}(y \mid x)= \begin{cases}\frac{3 y^{2}}{x^{3}}, & 0\lt y\lt x, ~ \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
（I）求 $(X, Y)$ 的概率密度 $f(x, y)$ ；
（II）求 $Y$ 的边缘概率密度 $f_{Y}(y)$ ；
（III）求 $P\{X\gt 2 Y\}$ 。
💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（ I ）联合密度为
$$
f(x, y)=f_X(x) f_{Y \mid X}(y \mid x)= \begin{cases}\frac{9 y^2}{x}, & 0 （II）$Y$ 的边缘密度为 $f_Y(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x$ ，当 $y \leqslant 0$ 或 $y \geqslant 1$ 时，$f_Y(y)=0$ ， 当 $0 $$
\begin{aligned}
P\{X>2 Y\} & =\iint_{x>2 y} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{\frac{1}{2} x} \frac{9 y^2}{x} \mathrm{~d} y \\
& =\left.\int_0^1 \frac{1}{x} \cdot 3 y^3\right|_0 ^{\frac{1}{2} x} \mathrm{~d} x=\frac{3}{8} \int_0^1 x^2 \mathrm{~d} x=\frac{1}{8}
\end{aligned}
$$