2013年考研数学三第13题

已知条件为：对于$n$阶矩阵$A=(a_{ij})$，其元素$a_{ij}$与对应的代数余子式$A_{ij}$满足关系$a_{ij}+A_{ij}=0$，即$A_{ij}=-a_{ij}$。 代数余子式$A_{ij}$是矩阵$A$中元素$a_{ij}$的代数余子式，而伴随矩阵$A^*$的定义为：$A^*=(A_{ji})$，即伴随矩阵的第$i$行第$j$列元素是$A$的第$j$行第$i$列元素的代数余子式。 将条件$A_{ij}=-a_{ij}$代入伴随矩阵的定义，有： $$A^*=(A_{ji})=(-a_{ji})$$ 这里$(-a_{ji})$表示一个矩阵，其第$i$行第$j$列元素为$-a_{ji}$。 另一方面，矩阵$A$的转置$A^T$定义为$(A^T)_{ij}=a_{ji}$，因此$-A^T$的第$i$行第$j$列元素为$-a_{ji}$。 于是得到矩阵关系式： $$A^*=-A^T$$ 这个关系式将题目中给出的元素与代数余子式的数量关系转化为矩阵之间的等式，是后续推导的基础。

已知矩阵关系式为 $A^* = -A^T$，其中 $A$ 为 3 阶方阵。现在对等式两边同时取行列式。 左边：$|A^*|$。根据伴随矩阵的行列式性质，对于 $n$ 阶方阵 $A$，有 $|A^*| = |A|^{n-1}$。此处 $n=3$，故 $|A^*| = |A|^{2}$。 右边：$|-A^T|$。首先，$|-A^T| = (-1)^3 |A^T|$，因为提取每一行的公因子 $-1$，共 3 行，所以因子为 $(-1)^3$。其次，转置不改变行列式的值，即 $|A^T| = |A|$。因此右边等于 $(-1)^3 |A| = -|A|$。 于是得到等式：$$|A|^2 = -|A|.$$

已知对于任意 $n$ 阶方阵 $A$，其伴随矩阵 $A^*$ 的行列式满足性质：$|A^*| = |A|^{n-1}$。本题中 $A$ 是3阶矩阵，即 $n=3$，因此有 $|A^*| = |A|^{3-1} = |A|^2$。 题目条件给出 $|A^*| = -|A|$，将上述关系代入可得： $$|A|^2 = -|A|.$$ 这是一个关于 $|A|$ 的方程。移项得： $$|A|^2 + |A| = 0,$$ 即 $$|A|(|A| + 1) = 0.$$ 由此得到两个可能的解：$|A| = 0$ 或 $|A| = -1$。 注意：伴随矩阵的行列式性质 $|A^*| = |A|^{n-1}$ 对任意方阵均成立，包括 $|A|=0$ 的情形（此时 $A^*$ 可能为零矩阵，其行列式也为0，等式仍然成立）。因此两个解在代数推导上都是合理的，需要结合后续步骤（如矩阵可逆性、伴随矩阵的定义等）进一步筛选。

由前一步得到的方程 $|A|^2 = -|A|$，我们将其移项整理为标准形式。将等式右边项移到左边，得到： $$|A|^2 + |A| = 0$$ 这是一个关于 $|A|$ 的一元二次方程。提取公因式 $|A|$，得： $$|A|(|A| + 1) = 0$$ 根据零乘积性质，若两个因式的乘积为零，则至少有一个因式为零。因此，我们得到两个可能的解： $$|A| = 0 \quad \text{或} \quad |A| + 1 = 0$$ 由第二个方程解得 $|A| = -1$。 所以，行列式 $|A|$ 的可能取值为 $0$ 或 $-1$。 注意：这里我们只得到了 $|A|$ 的可能值，还需要结合题目中矩阵 $A$ 的其他条件（如可逆性、特征值等）来进一步确定最终的唯一值。这一步仅仅是解方程，得到所有可能的数值。

已知矩阵 $A$ 为非零矩阵，即 $A \neq O$，因此 $A$ 至少有一个非零元素。不妨设 $a_{11} \neq 0$。将行列式 $|A|$ 按第一行展开，有 $$|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13},$$ 其中 $A_{ij}$ 为代数余子式。由题目条件（如伴随矩阵关系或已知等式）可得 $A_{ij} = -a_{ij}$（具体推导见前序步骤），代入上式得 $$|A| = a_{11}(-a_{11}) + a_{12}(-a_{12}) + a_{13}(-a_{13}) = -(a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2).$$ 由于 $a_{11} \neq 0$，故 $a_{11}^2 > 0$，且 $a_{12}^2 \geq 0$，$a_{13}^2 \geq 0$，因此 $$a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2 > 0,$$ 从而 $|A| = -(a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2) < 0$。这说明 $|A| \neq 0$，即矩阵 $A$ 可逆，排除了 $|A| = 0$ 的可能性。结合前序步骤中由伴随矩阵关系得到的 $|A|^2 = 1$，可得 $|A| = -1$（因为 $|A| < 0$，故舍去 $|A| = 1$）。 最终答案验证：由 $|A| = -1$ 及已知条件 $A^* = -A^{-1}$（或等价关系），可验证所有推导一致，且满足非零矩阵的条件。因此，矩阵 $A$ 的行列式值为 $-1$。