2013年考研数学三第12题

给定二阶常系数齐次线性微分方程为： $$ y'' - y' + \frac{1}{4}y = 0 $$ 对于形如 $ay'' + by' + cy = 0$ 的微分方程，其特征方程的构造方法是：将 $y''$ 替换为 $\lambda^2$，将 $y'$ 替换为 $\lambda$，将 $y$ 替换为常数 $1$。因此，原方程中 $a=1$，$b=-1$，$c=\frac{1}{4}$，代入得到特征方程： $$ \lambda^2 - \lambda + \frac{1}{4} = 0 $$ 此步骤的关键在于正确识别微分方程中各项的系数，并按照标准规则写出特征方程。注意，特征方程是一个关于 $\lambda$ 的一元二次方程，其解将决定微分方程通解的形式。

由第一步得到的特征方程 $\lambda^2 - \lambda + \frac{1}{4} = 0$，这是一个关于 $\lambda$ 的一元二次方程。我们使用求根公式 $\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 来求解，其中 $a = 1$，$b = -1$，$c = \frac{1}{4}$。 首先计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = 1 - 1 = 0$。判别式为零，说明方程有两个相等的实根。 代入求根公式： $$\lambda = \frac{-(-1) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 0}{2} = \frac{1}{2}$$ 因此，特征根为 $\lambda_1 = \lambda_2 = \frac{1}{2}$，即二重特征根。 注意：也可以将原方程左边写成完全平方形式：$\lambda^2 - \lambda + \frac{1}{4} = (\lambda - \frac{1}{2})^2 = 0$，直接得到 $\lambda = \frac{1}{2}$。

在第二步中，我们已求得微分方程的特征方程 $r^2 - r + \frac{1}{4} = 0$ 的解为 $r_1 = r_2 = \frac{1}{2}$，即特征根为二重实根。对于二阶常系数线性齐次微分方程，当特征方程有重根 $r$（二重）时，其通解形式为 $y = (C_1 + C_2 x) e^{rx}$，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。 将 $r = \frac{1}{2}$ 代入，得到微分方程的通解为： $$ y = (C_1 + C_2 x) e^{\frac{x}{2}} $$ 为了验证该通解的正确性，我们可以将其代入原微分方程 $y'' - y' + \frac{1}{4}y = 0$ 进行检验。首先计算一阶导数： $$ y' = C_2 e^{\frac{x}{2}} + (C_1 + C_2 x) \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} = \left( \frac{C_1}{2} + C_2 + \frac{C_2}{2}x \right) e^{\frac{x}{2}} $$ 再计算二阶导数： $$ y'' = \frac{C_2}{2} e^{\frac{x}{2}} + \left( \frac{C_1}{2} + C_2 + \frac{C_2}{2}x \right) \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} = \left( \frac{C_1}{4} + \frac{C_2}{2} + \frac{C_2}{2} + \frac{C_2}{4}x \right) e^{\frac{x}{2}} = \left( \frac{C_1}{4} + C_2 + \frac{C_2}{4}x \right) e^{\frac{x}{2}} $$ 将 $y, y', y''$ 代入原方程左边： $$ y'' - y' + \frac{1}{4}y = \left( \frac{C_1}{4} + C_2 + \frac{C_2}{4}x \right) e^{\frac{x}{2}} - \left( \frac{C_1}{2} + C_2 + \frac{C_2}{2}x \right) e^{\frac{x}{2}} + \frac{1}{4} (C_1 + C_2 x) e^{\frac{x}{2}} $$ 合并同类项，提取公因子 $e^{x/2}$： $$ = \left[ \frac{C_1}{4} - \frac{C_1}{2} + \frac{C_1}{4} + C_2 - C_2 + \frac{C_2}{4}x - \frac{C_2}{2}x + \frac{C_2}{4}x \right] e^{\frac{x}{2}} $$ 计算各项系数：常数项 $\frac{C_1}{4} - \frac{C_1}{2} + \frac{C_1}{4} = 0$；$C_2$ 项 $C_2 - C_2 = 0$；$x$ 项 $\frac{C_2}{4}x - \frac{C_2}{2}x + \frac{C_2}{4}x = 0$。因此左边等于 $0$，验证了通解的正确性。 最终，微分方程的通解为 $y = (C_1 + C_2 x) e^{x/2}$，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。