2013年考研数学三第11题

首先，观察被积函数 $\frac{\ln x}{(1+x)^2}$。注意到分母 $(1+x)^2$ 是 $1+x$ 的平方，而 $\frac{1}{(1+x)^2}$ 的原函数容易求得。实际上，有微分关系：$$\mathrm{d}\left(-\frac{1}{1+x}\right) = \frac{1}{(1+x)^2}\,\mathrm{d}x.$$ 因此，我们可以将原积分中的 $\frac{1}{(1+x)^2}\mathrm{d}x$ 部分凑成 $\mathrm{d}\left(-\frac{1}{1+x}\right)$，即：$$\int \frac{\ln x}{(1+x)^2}\,\mathrm{d}x = \int \ln x \cdot \frac{1}{(1+x)^2}\,\mathrm{d}x = \int \ln x \,\mathrm{d}\left(-\frac{1}{1+x}\right).$$ 接下来，应用分部积分公式 $\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u$。这里令 $u = \ln x$，$\mathrm{d}v = \mathrm{d}\left(-\frac{1}{1+x}\right)$，则 $\mathrm{d}u = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$，$v = -\frac{1}{1+x}$。代入分部积分公式得：$$\int \ln x \,\mathrm{d}\left(-\frac{1}{1+x}\right) = \ln x \cdot \left(-\frac{1}{1+x}\right) - \int \left(-\frac{1}{1+x}\right) \cdot \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = -\frac{\ln x}{1+x} + \int \frac{1}{x(1+x)}\,\mathrm{d}x.$$ 至此，我们完成了第一步的凑微分和分部积分，将原积分转化为一个更易于处理的形式。后续步骤将集中计算积分 $\int \frac{1}{x(1+x)}\,\mathrm{d}x$。

设原积分为 $I = \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^2} \, dx$。在第一步中，我们已令 $u = \ln x$，$dv = \frac{1}{(1+x)^2} dx$，从而 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = -\frac{1}{1+x}$。根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，代入得： $$ I = \left[ \ln x \cdot \left(-\frac{1}{1+x}\right) \right]_{1}^{+\infty} - \int_{1}^{+\infty} \left(-\frac{1}{1+x}\right) \cdot \frac{1}{x} \, dx. $$ 整理符号，将负号提出： $$ I = -\left[ \frac{\ln x}{1+x} \right]_{1}^{+\infty} + \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x(1+x)} \, dx. $$ 这就是应用分部积分公式后得到的结果。注意，边界项 $\left[ \frac{\ln x}{1+x} \right]_{1}^{+\infty}$ 需要单独计算，而剩下的积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x(1+x)} \, dx$ 是一个有理函数的积分，可通过部分分式分解进一步求解。

本步骤需要计算极限项 $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{1+x}$ 以及 $x=1$ 时的函数值 $\frac{\ln 1}{1+1}$，并判断该项整体是否为0。\n\n首先计算极限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{1+x}$。由于当 $x \to +\infty$ 时，分子 $\ln x$ 和分母 $1+x$ 都趋于无穷大，属于 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式，可以使用洛必达法则。对分子和分母分别求导：分子 $\ln x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$，分母 $1+x$ 的导数为 $1$。因此，\n$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{1+x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0.$$\n\n另一种方法：将分子分母同除以 $x$，得到 $\frac{\ln x}{1+x} = \frac{\ln x / x}{1/x + 1}$。当 $x \to +\infty$ 时，$\ln x / x \to 0$（因为对数函数增长慢于幂函数），$1/x \to 0$，所以极限为 $0/1 = 0$。\n\n其次计算 $x=1$ 时的函数值：$\frac{\ln 1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0$。\n\n因此，该极限项和该点函数值均为0，故该项整体为0。

本步骤的目标是计算积分 $\int \frac{1}{x(1+x)} \, dx$。首先，对被积函数进行部分分式分解。设 $\frac{1}{x(1+x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1+x}$，两边乘以 $x(1+x)$ 得 $1 = A(1+x) + Bx$。整理得 $1 = A + (A+B)x$。比较系数得方程组 $\begin{cases} A = 1 \\ A+B = 0 \end{cases}$，解得 $A=1$，$B=-1$。因此 $\frac{1}{x(1+x)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x}$。 于是积分化为 $\int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} \right) dx$。利用基本积分公式 $\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C$，分别积分得 $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$，$\int \frac{1}{1+x} dx = \ln|1+x|$。因此原积分为 $\ln|x| - \ln|1+x| + C$。根据对数性质，$\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$，所以结果可写成 $\ln\left|\frac{x}{1+x}\right| + C$。由于在题目所给区间内 $x>0$，绝对值可去掉，得到 $\ln\frac{x}{1+x} + C$。

本步骤为定积分计算的最后一步，将上、下限分别代入原函数并作差。 首先处理上限：当 $x \to +\infty$ 时，计算 $\ln\left(\frac{x}{1+x}\right)$。由于 $\frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$，当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{1+x} \to 0$，因此 $\frac{x}{1+x} \to 1$，从而 $\ln\left(\frac{x}{1+x}\right) \to \ln 1 = 0$。即： $$ \lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{x}{1+x}\right) = \ln 1 = 0. $$ 接着处理下限：代入 $x = 1$，得 $$ \ln\left(\frac{1}{1+1}\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2. $$ 根据牛顿-莱布尼茨公式，定积分等于上限函数值减去下限函数值： $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x(1+x)} \, dx = \left[ \ln\left(\frac{x}{1+x}\right) \right]_{1}^{+\infty} = 0 - (-\ln 2) = \ln 2. $$ 因此，原反常积分的值为 $\ln 2$。 最终答案验证：由于被积函数 $\frac{1}{x(1+x)}$ 在 $[1, +\infty)$ 上恒正且积分收敛，结果 $\ln 2 > 0$，符合预期。另外，可通过数值验证：$\ln 2 \approx 0.6931$，而 $\int_{1}^{100} \frac{1}{x(1+x)} \, dx \approx 0.688$，接近 $\ln 2$，进一步确认结果正确。