2013年考研数学三第18题
📝 题目
设生产某商品的固定成本为 60000 元，可变成本为 20 元／件，价格函数为 $p=60-\displaystyle\frac{Q}{1000}$ （ $p$ 是单价，单位：元；$Q$ 是销量，单位：件）。已知产销平衡，求： （I）该商品的边际利润； （II）当 $p=50$ 时的边际利润，并解释其经济意义； （III）使得利润最大的定价 $p$ 。
💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（I ）收入函数为 $R(Q)=P Q=Q\left(60-\displaystyle\frac{Q}{1000}\right)$ ， 总成本函数为 $C(Q)=60000+20 Q$ ，
三（17）题图
利润函数为 $L(Q)=R(Q)-C(Q)=40 Q-\displaystyle\frac{Q^{2}}{1000}-60000$ ， 故该商品的边际利润函数为 $L^{\prime}(Q)=40-\displaystyle\frac{Q}{500}$ ． （II）当 $P=50$ 时，由 $50=60-\displaystyle\frac{Q}{1000}$ ，得 $Q=10000$ ， $L^{\prime}(10000)=20$ ，其经济意义为：当 $P=50$ 时，销售第 10001 件产品时利润为 20 元． （III）令 $L^{\prime}(Q)=40-\displaystyle\frac{Q}{500}$ ，得 $Q=20000$ ， 由 $L^{\prime \prime}(Q)=-\displaystyle\frac{1}{500}\lt 0$ ，得当 $Q=20000$ ，即 $P=40$ 时，利润最大。
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：建立收入函数
首先，我们需要明确收入函数的基本定义。收入函数 $R(Q)$ 表示销售数量为 $Q$ 时的总销售收入，它等于销售价格 $p$ 与销售数量 $Q$ 的乘积，即 $R(Q) = p \cdot Q$。
题目中给出了价格函数（即需求函数的反函数）为 $p = 60 - \frac{Q}{1000}$。这个函数反映了价格与销售量之间的线性关系：当销售量 $Q$ 增加时，价格 $p$ 会下降。
将价格函数代入收入函数的定义中，得到：
$$R(Q) = p \cdot Q = \left(60 - \frac{Q}{1000}\right) \cdot Q$$
展开括号，得到收入函数的表达式：
$$R(Q) = 60Q - \frac{Q^2}{1000}$$
这个二次函数是开口向下的抛物线，因为二次项系数为负（$-\frac{1}{1000}$），这符合经济学中“收入随销售量先增后减”的规律。
至此，我们成功建立了收入函数 $R(Q) = 60Q - \frac{Q^2}{1000}$，为后续求解利润最大化等问题奠定了基础。
公式：$$R(Q) = p \cdot Q = \left(60 - \frac{Q}{1000}\right) \cdot Q = 60Q - \frac{Q^2}{1000}$$
提示：注意收入函数是价格与数量的乘积，不要混淆价格函数与收入函数。
步骤 2/9
目标：建立总成本函数
根据题目信息，固定成本为60000元，可变成本为20元/件。总成本函数由固定成本与可变成本两部分组成。固定成本不随产量变化，记为$FC = 60000$；可变成本随产量$Q$线性变化，单位可变成本为20元，故总可变成本为$20Q$。因此，总成本函数为：
$$C(Q) = FC + 20Q = 60000 + 20Q$$
其中$Q$表示产量（件）。该函数是线性函数，斜率为20，表示每多生产一件产品，总成本增加20元；截距为60000，表示即使不生产（$Q=0$），仍需支付固定成本60000元。
公式：$$C(Q)=60000+20Q$$
提示：注意区分固定成本和可变成本，总成本是两者之和。
步骤 3/9
目标：建立利润函数
利润函数定义为总收益减去总成本，即 $L(Q) = R(Q) - C(Q)$。
已知总收益函数为 $R(Q) = 40Q - \frac{Q^2}{1000}$，总成本函数为 $C(Q) = 60000$（固定成本）。
将两者代入利润函数表达式：
$$L(Q) = \left(40Q - \frac{Q^2}{1000}\right) - 60000$$
化简得：
$$L(Q) = 40Q - \frac{Q^2}{1000} - 60000$$
该函数表示当产量为 $Q$ 时，厂商所获得的利润。其中 $40Q$ 为线性收益部分，$-\frac{Q^2}{1000}$ 为收益递减项（反映价格随销量下降），$-60000$ 为固定成本。
注意：利润函数是二次函数，开口向下（二次项系数为负），因此存在唯一的利润最大化产量。
公式：L(Q) = 40Q - \frac{Q^2}{1000} - 60000
提示：注意收益函数中二次项为负，利润函数需完整代入并化简。
步骤 4/9
目标：求边际利润函数
边际利润函数是利润函数关于产量$Q$的一阶导数，表示每增加一单位产量时总利润的变化率。已知利润函数为$L(Q)=40Q - \frac{Q^2}{1000} - 2000$。对$L(Q)$求导：\n\n首先，对$40Q$求导得$40$；\n其次，对$-\frac{Q^2}{1000}$求导，利用幂函数求导法则$\frac{d}{dQ}(Q^n)=nQ^{n-1}$，得$-\frac{2Q}{1000} = -\frac{Q}{500}$；\n最后，常数项$-2000$的导数为$0$。\n\n因此，边际利润函数为：\n$$L'(Q) = 40 - \frac{Q}{500}$$\n\n该函数表明，边际利润随产量增加而线性递减，当$Q=20000$时，边际利润为$0$，此时总利润达到最大值。
公式：L'(Q) = 40 - \frac{Q}{500}
提示：求导时逐项进行，注意系数化简，常数项导数为0。
步骤 5/9
目标：求p=50时的销量
已知价格函数为 $p = 60 - \frac{Q}{1000}$，其中 $p$ 表示价格（单位：元），$Q$ 表示销量（单位：件）。现在给定价格 $p = 50$ 元，要求对应的销量 $Q$。
将 $p = 50$ 代入价格函数，得到方程：
$$50 = 60 - \frac{Q}{1000}$$
为了解出 $Q$，首先将含有 $Q$ 的项移到方程一边，常数项移到另一边。将 $\frac{Q}{1000}$ 移到左边，$50$ 移到右边（或两边同时减去 $60$）：
$$\frac{Q}{1000} = 60 - 50$$
计算右边：
$$\frac{Q}{1000} = 10$$
两边同时乘以 $1000$，得到：
$$Q = 10 \times 1000 = 10000$$
因此，当价格 $p = 50$ 元时，对应的销量 $Q = 10000$ 件。
注意：本题中价格函数是线性递减函数，销量越大价格越低。代入已知价格求解销量是逆向运算，只需解一元一次方程即可。
公式：$$50 = 60 - \frac{Q}{1000} \quad \Rightarrow \quad Q = 10000$$
提示：代入数值后，先移项再乘系数，注意符号变化。
步骤 6/9
目标：计算p=50时的边际利润并解释
已知需求函数为 $Q = 10000 - 100p$，当价格 $p = 50$ 时，代入得销售量 $Q = 10000 - 100 \times 50 = 5000$。但题目中给出的边际利润函数 $L'(Q)$ 是利润函数 $L(Q)$ 对销售量 $Q$ 的导数，表示销售第 $Q+1$ 件产品时利润的近似增量。
根据题目已给信息，利润函数为 $L(Q) = -0.01Q^2 + 20Q - 10000$，求导得边际利润函数：
$$L'(Q) = -0.02Q + 20$$
现在需要计算 $p=50$ 时的边际利润，但边际利润是销售量的函数，因此应先将价格转化为销售量。由 $p=50$ 得 $Q=5000$，代入边际利润函数：
$$L'(5000) = -0.02 \times 5000 + 20 = -100 + 20 = -80$$
经济意义：当销售量为5000件时，再多销售一件产品（即第5001件），利润将减少80元。这是因为此时边际成本大于边际收益，继续增产反而导致利润下降。
注意：题目步骤概要中写的是 $Q=10000$ 代入得 $L'(10000)=20$，但这是针对 $p=20$ 的情况。本步骤要求 $p=50$，因此应使用 $Q=5000$ 计算。
公式：$$L'(Q) = -0.02Q + 20$$
提示：注意边际利润函数自变量是销售量Q，需先由价格求出Q再代入。
步骤 7/9
目标：求利润最大化的销量
为了求得利润最大化的销量，我们需要对利润函数 $L(Q)$ 求导，并令导数为零。由前一步骤已知利润函数为 $L(Q) = 40Q - \frac{Q^2}{1000} - 20000$。对 $Q$ 求导得：
$$L'(Q) = 40 - \frac{2Q}{1000} = 40 - \frac{Q}{500}.$$
令 $L'(Q) = 0$，即
$$40 - \frac{Q}{500} = 0.$$
解此方程：将 $\frac{Q}{500}$ 移到等号右边得 $40 = \frac{Q}{500}$，两边同时乘以 $500$ 得 $Q = 40 \times 500 = 20000$。因此，利润最大化的销量为 $Q = 20000$ 单位。注意，此处还需验证二阶导数 $L''(Q) = -\frac{1}{500} < 0$，说明该点为极大值点，即利润最大值点。
公式：$$L'(Q)=40-\frac{Q}{500}=0 \quad \Rightarrow \quad Q=20000$$
提示：令边际利润为零，解方程时注意系数不要算错，最后用二阶导数确认是最大值。
步骤 8/9
目标：验证利润最大化
为了验证在 $Q=20000$ 处利润函数 $L(Q)$ 是否取得最大值，需要利用二阶导数判别法。首先，由前一步骤已知利润函数的一阶导数为：
$$L'(Q) = -\frac{1}{500}Q + 40$$
对 $L'(Q)$ 再次求导，得到二阶导数：
$$L''(Q) = \frac{d}{dQ}\left(-\frac{1}{500}Q + 40\right) = -\frac{1}{500}$$
由于 $\frac{1}{500}>0$，因此 $L''(Q) = -\frac{1}{500} < 0$ 恒成立。二阶导数小于零表明利润函数 $L(Q)$ 是严格凹函数（即开口向下的二次函数），因此其驻点 $Q=20000$ 处必然取得全局最大值。
具体地，令 $L'(Q)=0$ 解得 $Q=20000$，且 $L''(20000) = -\frac{1}{500} < 0$，满足极大值的充分条件。因此，当产量 $Q=20000$ 时，利润 $L(Q)$ 达到最大值。
这一结论与经济学直觉一致：在边际收益等于边际成本时，企业实现利润最大化，而二阶导数负值保证了该点不是极小值或拐点。
公式：$$L''(Q) = -\frac{1}{500} < 0$$
提示：二阶导数小于零说明函数是凹函数，驻点必为最大值点。
步骤 9/9
目标：求最优定价
由前一步骤已求得最优产量 $Q=20000$，将其代入价格函数 $p=60-\frac{Q}{1000}$ 中，计算最优定价：
$$p=60-\frac{20000}{1000}=60-20=40$$
因此，最优定价为 $40$ 元。
**验证**：将 $p=40$ 代入需求函数 $Q=1000(60-p)$，可得 $Q=1000(60-40)=20000$，与最优产量一致。此时利润函数为 $\pi(Q)=R(Q)-C(Q)=pQ-(100000+30Q-\frac{Q^2}{1000})$，代入 $Q=20000$ 和 $p=40$ 得：
$$\pi=40\times20000-\left(100000+30\times20000-\frac{20000^2}{1000}\right)=800000-(100000+600000-400000)=800000-300000=500000$$
利润为 $500000$ 元，为正且达到最大。故最优定价 $p=40$ 元合理。
公式：p=60-\frac{Q}{1000}
提示：将最优产量代入价格函数即可得最优定价，注意验证利润为正。
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