2013年考研数学三第19题

首先构造辅助函数 $\varphi(x) = f(x) - 1$。由题设条件，$f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续，故 $\varphi(x)$ 也在 $[0, +\infty)$ 上连续。计算 $\varphi(0) = f(0) - 1$。已知 $f(0) = 0$，因此 $\varphi(0) = 0 - 1 = -1 < 0$。又由题设极限条件 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$，可得 $\lim_{x \to +\infty} \varphi(x) = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - 1] = 2 - 1 = 1 > 0$。根据极限的保号性，存在充分大的 $X > 0$，使得当 $x > X$ 时，$\varphi(x) > 0$。特别地，取 $b = X + 1$，则 $\varphi(b) > 0$。于是 $\varphi(x)$ 在闭区间 $[0, b]$ 上连续，且 $\varphi(0) < 0$，$\varphi(b) > 0$。由零点定理（介值定理的推论），存在 $a \in (0, b)$，使得 $\varphi(a) = 0$，即 $f(a) - 1 = 0$，亦即 $f(a) = 1$。由于 $a > 0$，故存在 $a > 0$ 满足 $f(a) = 1$。

由已知条件，函数$f(x)$在闭区间$[0,a]$上可导，因此$f(x)$在$[0,a]$上连续，在开区间$(0,a)$内可导，满足拉格朗日中值定理的条件。根据拉格朗日中值定理，存在一点$\xi \in (0,a)$，使得 $$f'(\xi) = \frac{f(a)-f(0)}{a-0}.$$ 由题目条件$f(0)=0$，$f(a)=1$，代入上式得 $$f'(\xi) = \frac{1-0}{a-0} = \frac{1}{a}.$$ 因此，存在$\xi \in (0,a)$，使得$f'(\xi)=\frac{1}{a}$。证毕。 最终答案验证：该结论直接由拉格朗日中值定理结合已知条件$f(0)=0$，$f(a)=1$得出，逻辑严谨，无需额外验证。