2013年考研数学三第16题
📝 题目
设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\displaystyle\frac{1}{3}}$ ，直线 $x=a(a\gt 0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，$V_{x}, V_{y}$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴， $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积．若 $V_{y}=10 V_{x}$ ，求 $a$ 的值．
💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
方法一 如图所示，$V_{x}=\pi \displaystyle\int_{0}^{a} x^{\displaystyle\frac{2}{3}} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{3 \pi}{5} a^{\displaystyle\frac{5}{3}}$ ， $V_{y}=\pi a^{2} \cdot a^{\displaystyle\frac{1}{3}}-\pi \displaystyle\int_{0}^{a^{\displaystyle\frac{1}{3}}}\left(y^{3}\right)^{2} \mathrm{~d} y=\pi a^{\displaystyle\frac{7}{3}}-\displaystyle\frac{1}{7} \pi a^{\displaystyle\frac{7}{3}}=\displaystyle\frac{6 \pi}{7} a^{\displaystyle\frac{7}{3}}$, 由 $V_{y}=10 V_{x}$ ，得 $a=7 \sqrt{7}$ ． 方法二 $V_{x}=\pi \displaystyle\int_{0}^{a}\left(x^{\displaystyle\frac{1}{3}}\right)^{2} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{3 \pi}{5} a^{\displaystyle\frac{5}{3}}$ ，
三（16）题图
取 $[x, x+\mathrm{d} x] \subset[0, a]$ ，由 $\mathrm{d} V_{y}=2 \pi x \cdot x^{\displaystyle\frac{1}{3}} \cdot \mathrm{~d} x$ ， 得 $V_{y}=\displaystyle\int_{0}^{a} \mathrm{~d} V_{y}=2 \pi \displaystyle\int_{0}^{a} x^{\displaystyle\frac{4}{3}} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{6 \pi}{7} a^{\displaystyle\frac{7}{3}}$ ， 由 $V_{y}=10 V_{x}$ ，得 $a=7 \sqrt{7}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/11
目标：明确积分区域与旋转轴
首先，我们需要明确题目所给的积分区域$D$。根据题意，区域$D$由曲线$y = x^{1/3}$、直线$x = a$（其中$a > 0$）以及$x$轴围成。曲线$y = x^{1/3}$是幂函数，定义域为$x \geq 0$，且当$x=0$时$y=0$，当$x=a$时$y = a^{1/3}$。直线$x = a$是一条垂直于$x$轴的直线，$x$轴即$y=0$。因此，区域$D$是一个曲边梯形：其左边界为$y$轴（$x=0$），右边界为直线$x=a$，下边界为$x$轴（$y=0$），上边界为曲线$y = x^{1/3}$。该区域位于第一象限内。
接下来，我们需要明确旋转轴。题目要求分别计算该区域绕$x$轴旋转和绕$y$轴旋转所得到的旋转体体积。
- 绕$x$轴旋转时，旋转轴是$x$轴（即直线$y=0$）。此时，区域$D$上的每一点绕$x$轴旋转形成一个垂直于$x$轴的圆盘或圆环。由于区域$D$的上边界是$y = x^{1/3}$，下边界是$y=0$，因此对于固定的$x$，旋转得到的截面是一个半径为$y = x^{1/3}$的圆盘。体积元素为$dV = \pi [y(x)]^2 dx = \pi (x^{1/3})^2 dx = \pi x^{2/3} dx$，积分区间为$x$从$0$到$a$。
- 绕$y$轴旋转时，旋转轴是$y$轴（即直线$x=0$）。此时，需要将区域$D$用$y$表示。由$y = x^{1/3}$可得$x = y^3$。区域$D$在$y$方向上的范围是从$y=0$到$y = a^{1/3}$。对于固定的$y$，区域$D$的左边界是$x=0$，右边界是$x = y^3$。绕$y$轴旋转时，截面是一个半径为$x = y^3$的圆盘，体积元素为$dV = \pi [x(y)]^2 dy = \pi (y^3)^2 dy = \pi y^6 dy$，积分区间为$y$从$0$到$a^{1/3}$。
至此，我们明确了积分区域$D$的边界描述以及两种旋转方式对应的积分变量和积分限，为后续计算做好了准备。
公式：区域D: $0 \leq x \leq a$, $0 \leq y \leq x^{1/3}$ 或 $0 \leq y \leq a^{1/3}$, $0 \leq x \leq y^3$
提示：画图辅助理解区域形状，注意区分两种旋转方式对应的积分变量。
步骤 2/11
目标：计算绕x轴旋转体积Vx
本步骤使用圆盘法（切片法）计算曲线 $y = x^{1/3}$ 在区间 $[0, a]$ 上绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。圆盘法的基本原理是：将旋转体分割成无数个垂直于 $x$ 轴的薄圆盘，每个圆盘的厚度为 $dx$，半径为 $y = f(x)$，则体积微元为 $dV = \pi y^2 dx$。因此，总体积为 $V_x = \pi \int_{0}^{a} [f(x)]^2 dx$。
将 $f(x) = x^{1/3}$ 代入，得 $[f(x)]^2 = (x^{1/3})^2 = x^{2/3}$。于是被积函数为 $x^{2/3}$，积分区间为 $[0, a]$。所以体积表达式为：
$$V_x = \pi \int_{0}^{a} x^{2/3} \, dx$$
接下来计算该定积分。根据幂函数积分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$），这里 $n = \frac{2}{3}$，则 $n+1 = \frac{5}{3}$。因此：
$$\int x^{2/3} dx = \frac{x^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5} x^{5/3}$$
代入上下限：
$$\int_{0}^{a} x^{2/3} dx = \left[ \frac{3}{5} x^{5/3} \right]_{0}^{a} = \frac{3}{5} a^{5/3} - \frac{3}{5} \cdot 0^{5/3} = \frac{3}{5} a^{5/3}$$
因此，绕 $x$ 轴旋转的体积为：
$$V_x = \pi \cdot \frac{3}{5} a^{5/3} = \frac{3\pi}{5} a^{5/3}$$
注意：这里 $a$ 是题目中给定的常数，最终结果用 $a$ 表示。本步骤完成了体积 $V_x$ 的计算，为后续步骤（如计算绕 $y$ 轴旋转体积 $V_y$ 或比较两者关系）提供了基础。
公式：$$V_x = \pi \int_{0}^{a} (x^{1/3})^2 dx = \pi \int_{0}^{a} x^{2/3} dx = \frac{3\pi}{5} a^{5/3}$$
提示：注意圆盘法公式中半径要平方，积分时幂函数指数加1再取倒数。
步骤 3/11
目标：积分求解Vx表达式
本步骤的目标是计算旋转体体积 $V_x$ 的定积分表达式。根据前一步骤，$V_x$ 由公式 $V_x = \pi \int_0^a x^{2/3} \, dx$ 给出。现在需要求解该定积分。
首先，计算不定积分 $\int x^{2/3} \, dx$。根据幂函数积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（其中 $n \neq -1$），这里 $n = \frac{2}{3}$，因此 $n+1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$。于是有：
$$\int x^{2/3} \, dx = \frac{x^{5/3}}{5/3} + C = \frac{3}{5} x^{5/3} + C.$$
接下来，代入定积分的上下限 $x = a$ 和 $x = 0$：
$$\int_0^a x^{2/3} \, dx = \left[ \frac{3}{5} x^{5/3} \right]_0^a = \frac{3}{5} a^{5/3} - \frac{3}{5} \cdot 0^{5/3} = \frac{3}{5} a^{5/3}.$$
最后，乘以 $\pi$ 得到 $V_x$ 的表达式：
$$V_x = \pi \cdot \frac{3}{5} a^{5/3} = \frac{3\pi}{5} a^{5/3}.$$
因此，旋转体体积 $V_x$ 的表达式为 $V_x = \frac{3\pi}{5} a^{5/3}$。
公式：$$\int x^{2/3} \, dx = \frac{3}{5} x^{5/3} + C, \quad V_x = \pi \int_0^a x^{2/3} \, dx = \frac{3\pi}{5} a^{5/3}$$
提示：注意幂函数积分时指数加1，并正确化简分数。
步骤 4/11
目标：选择方法计算绕y轴旋转体积Vy
计算绕y轴旋转所得旋转体的体积$V_y$，通常有两种常用方法。
**方法一：垫圈法（以$y$为积分变量）**
将旋转体看作由垂直于y轴的薄圆环（垫圈）叠加而成。对于固定的$y$，旋转体的横截面是一个圆环，外半径由曲线$x = f(y)$（或$x = g(y)$）给出，内半径由另一条曲线$x = h(y)$（或坐标轴）给出。体积微元为
$$dV = \pi \left[ R_{\text{外}}^2(y) - R_{\text{内}}^2(y) \right] dy,$$
然后对$y$在相应区间上积分。此方法适用于被积函数容易表示为$y$的函数，且旋转体在$y$方向无空洞重叠的情形。
**方法二：柱壳法（以$x$为积分变量）**
将旋转体看作由一系列平行于y轴的薄柱壳叠加而成。对于固定的$x$，取垂直于x轴的薄片，该薄片绕y轴旋转形成一个圆柱壳，其半径为$x$，高度为$h(x)$（即上下边界曲线之差），厚度为$dx$。体积微元为
$$dV = 2\pi x \cdot h(x) \, dx,$$
然后对$x$在相应区间上积分。此方法适用于被积函数容易表示为$x$的函数，且旋转体在$x$方向无空洞重叠的情形。
**选择建议**：具体使用哪种方法，取决于题目给出的曲线方程形式以及积分计算的简便性。若曲线方程能方便地解出$x$关于$y$的表达式，且积分区间在$y$轴上自然，则优先选用垫圈法；若曲线方程直接给出$y$关于$x$的表达式，且积分区间在$x$轴上自然，则优先选用柱壳法。两种方法计算结果相同，可根据实际情况灵活选择。
公式：垫圈法：$V_y = \pi \int_{y_1}^{y_2} \left[ R_{\text{外}}^2(y) - R_{\text{内}}^2(y) \right] dy$；柱壳法：$V_y = 2\pi \int_{x_1}^{x_2} x \cdot h(x) \, dx$
提示：根据曲线方程形式选择方法：若易解出$x=f(y)$用垫圈法，若直接给出$y=f(x)$用柱壳法。
步骤 5/11
目标：方法一：垫圈法求Vy
采用垫圈法（圆盘法）计算旋转体体积$V_y$。旋转体由曲线$x = y^3$（即$y = \sqrt[3]{x}$）与直线$x = a$（$a>0$）及$x$轴围成的区域绕$y$轴旋转而成。首先确定$y$的取值范围：当$x=0$时$y=0$，当$x=a$时$y = a^{1/3}$，因此$y$从$0$到$a^{1/3}$。对于每个固定的$y$，旋转体的横截面是一个圆环（垫圈），外半径由直线$x=a$决定，即$R_{\text{外}} = a$；内半径由曲线$x = y^3$决定，即$R_{\text{内}} = y^3$。因此，在$y$处圆环的面积为：$$\pi (R_{\text{外}}^2 - R_{\text{内}}^2) = \pi (a^2 - (y^3)^2) = \pi (a^2 - y^6).$$ 沿$y$轴从$0$到$a^{1/3}$积分，得到体积：$$V_y = \int_{0}^{a^{1/3}} \pi (a^2 - y^6) \, dy = \pi a^2 \cdot a^{1/3} - \pi \int_{0}^{a^{1/3}} y^6 \, dy = \pi a^{7/3} - \pi \int_{0}^{a^{1/3}} y^6 \, dy.$$ 其中第一项$\pi a^2 \cdot a^{1/3} = \pi a^{7/3}$对应外圆柱体积（半径为$a$，高为$a^{1/3}$），第二项为内空部分体积。接下来计算积分$\int_{0}^{a^{1/3}} y^6 \, dy$：$$\int_{0}^{a^{1/3}} y^6 \, dy = \left[ \frac{y^7}{7} \right]_{0}^{a^{1/3}} = \frac{(a^{1/3})^7}{7} = \frac{a^{7/3}}{7}.$$ 代入得：$$V_y = \pi a^{7/3} - \pi \cdot \frac{a^{7/3}}{7} = \pi a^{7/3} \left(1 - \frac{1}{7}\right) = \frac{6\pi}{7} a^{7/3}.$$ 因此，通过垫圈法求得$V_y = \frac{6\pi}{7} a^{7/3}$。
公式：$$V_y = \pi a^2 \cdot a^{1/3} - \pi \int_{0}^{a^{1/3}} (y^3)^2 \, dy = \pi a^{7/3} - \pi \int_{0}^{a^{1/3}} y^6 \, dy$$
提示：注意垫圈法中外半径是常数a，内半径是曲线x=y^3，积分变量为y。
步骤 6/11
目标：积分求解垫圈法Vy表达式
本步骤的目标是计算垫圈法得到的体积$V_y$的积分表达式。由前一步骤可知，$V_y = \pi \int_{0}^{a^{1/3}} \left[ a^{2} - (y^3)^2 \right] dy = \pi \int_{0}^{a^{1/3}} (a^2 - y^6) dy$。现在对积分进行求解。首先，将积分拆分为两项：$\pi \int_{0}^{a^{1/3}} a^2 dy - \pi \int_{0}^{a^{1/3}} y^6 dy$。第一项中，$a^2$是常数，因此$\pi \int_{0}^{a^{1/3}} a^2 dy = \pi a^2 \cdot y \big|_{0}^{a^{1/3}} = \pi a^2 \cdot a^{1/3} = \pi a^{7/3}$。第二项中，计算$\int y^6 dy = \frac{1}{7} y^7$，所以$\pi \int_{0}^{a^{1/3}} y^6 dy = \pi \cdot \frac{1}{7} y^7 \big|_{0}^{a^{1/3}} = \frac{\pi}{7} (a^{1/3})^7 = \frac{\pi}{7} a^{7/3}$。因此，$V_y = \pi a^{7/3} - \frac{\pi}{7} a^{7/3} = \left(1 - \frac{1}{7}\right) \pi a^{7/3} = \frac{6\pi}{7} a^{7/3}$。至此，垫圈法求得的体积$V_y$表达式已得出。
公式：$$V_y = \pi \int_{0}^{a^{1/3}} (a^2 - y^6) dy = \pi a^{7/3} - \frac{\pi}{7} a^{7/3} = \frac{6\pi}{7} a^{7/3}$$
提示：积分时注意常数因子 $\pi$ 保留，代入上下限时仔细计算指数运算。
步骤 7/11
目标：方法二：柱壳法求Vy
采用柱壳法（Shell Method）计算旋转体体积 $V_y$。将曲线 $y = x^{1/3}$ 绕 $y$ 轴旋转，取垂直于 $x$ 轴的微元，微元宽度为 $dx$，位于区间 $[x, x+dx]$ 内。该微元绕 $y$ 轴旋转形成一个薄柱壳，其半径为 $x$（即微元到 $y$ 轴的距离），高度为曲线在该处的纵坐标 $y = x^{1/3}$，厚度为 $dx$。柱壳的侧面积近似为 $2\pi x \cdot x^{1/3}$，因此体积微元为 $dV_y = 2\pi x \cdot x^{1/3} \, dx = 2\pi x^{4/3} \, dx$。
积分区间为 $x$ 从 $0$ 到 $a$（其中 $a$ 为曲线与 $x$ 轴交点的横坐标，由题目条件确定，此处 $a$ 为已知常数）。于是旋转体体积为：
$$ V_y = \int_{0}^{a} dV_y = \int_{0}^{a} 2\pi x^{4/3} \, dx = 2\pi \int_{0}^{a} x^{4/3} \, dx. $$
计算定积分：
$$ \int_{0}^{a} x^{4/3} \, dx = \left[ \frac{x^{7/3}}{7/3} \right]_{0}^{a} = \frac{3}{7} a^{7/3}. $$
因此，
$$ V_y = 2\pi \cdot \frac{3}{7} a^{7/3} = \frac{6\pi}{7} a^{7/3}. $$
此即利用柱壳法得到的 $V_y$ 表达式，与圆盘法（或垫圈法）所得结果一致，验证了方法的正确性。
公式：$$ V_y = 2\pi \int_{0}^{a} x^{4/3} \, dx = \frac{6\pi}{7} a^{7/3} $$
提示：注意柱壳法半径是到旋转轴的距离，此处绕y轴旋转，半径即为x。
步骤 8/11
目标：积分求解柱壳法Vy表达式
本步骤对柱壳法得到的体积表达式进行积分求解。由前一步骤，柱壳法下旋转体体积为：
$$V_y = 2\pi \int_0^a x \cdot y \, dx = 2\pi \int_0^a x \cdot x^{1/3} \, dx = 2\pi \int_0^a x^{4/3} \, dx.$$
现在计算定积分 $\int_0^a x^{4/3} \, dx$。根据幂函数积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$），这里 $n = \frac{4}{3}$，因此：
$$\int x^{4/3} \, dx = \frac{x^{4/3+1}}{4/3+1} = \frac{x^{7/3}}{7/3} = \frac{3}{7} x^{7/3} + C.$$
代入上下限 $0$ 到 $a$：
$$\int_0^a x^{4/3} \, dx = \left[ \frac{3}{7} x^{7/3} \right]_0^a = \frac{3}{7} a^{7/3} - \frac{3}{7} \cdot 0^{7/3} = \frac{3}{7} a^{7/3}.$$
将此结果代回 $V_y$ 表达式：
$$V_y = 2\pi \cdot \frac{3}{7} a^{7/3} = \frac{6\pi}{7} a^{7/3}.$$
该结果与之前垫圈法（圆盘法）计算得到的体积 $V_y = \frac{6\pi}{7} a^{7/3}$ 完全一致，验证了两种方法求解的正确性。至此，柱壳法积分求解完成。
公式：$$V_y = 2\pi \int_0^a x^{4/3} \, dx = 2\pi \cdot \frac{3}{7} a^{7/3} = \frac{6\pi}{7} a^{7/3}$$
提示：积分时注意指数加法：$\frac{4}{3}+1 = \frac{7}{3}$，倒数得系数 $\frac{3}{7}$。
步骤 9/11
目标：建立方程并求解a
根据题目条件，旋转体的体积满足 $V_y = 10 V_x$。将第7步和第8步得到的表达式代入：
$$
\frac{6\pi}{7} a^{7/3} = 10 \times \frac{3\pi}{5} a^{5/3}.
$$
首先化简右边：
$$
10 \times \frac{3\pi}{5} a^{5/3} = 6\pi a^{5/3}.
$$
于是方程变为：
$$
\frac{6\pi}{7} a^{7/3} = 6\pi a^{5/3}.
$$
两边同时除以 $6\pi$（$a>0$，故 $6\pi \neq 0$）：
$$
\frac{1}{7} a^{7/3} = a^{5/3}.
$$
将 $a^{5/3}$ 移到左边：
$$
\frac{1}{7} a^{7/3} - a^{5/3} = 0.
$$
提取公因式 $a^{5/3}$：
$$
a^{5/3} \left( \frac{1}{7} a^{2/3} - 1 \right) = 0.
$$
由于 $a>0$，$a^{5/3} \neq 0$，因此：
$$
\frac{1}{7} a^{2/3} - 1 = 0,
$$
即
$$
\frac{1}{7} a^{2/3} = 1,
$$
所以
$$
a^{2/3} = 7.
$$
两边同时取 $3/2$ 次幂（或先平方再开立方）：
$$
a = 7^{3/2} = \sqrt{7^3} = \sqrt{343} = 7\sqrt{7}.
$$
因此，所求参数 $a = 7\sqrt{7}$。
公式：$$\frac{6\pi}{7} a^{7/3} = 10 \cdot \frac{3\pi}{5} a^{5/3} \quad \Rightarrow \quad a = 7\sqrt{7}$$
提示：提取公因式 $a^{5/3}$ 后，注意 $a>0$ 才能直接约去，最后幂运算要仔细。
步骤 10/11
目标：化简方程
当前步骤的目标是对方程进行化简。上一步得到的方程为：
$$
\frac{6}{7} \pi a^{7/3} = 6 \pi a^{5/3}
$$
首先，方程两边同时约去公因子 $\pi$（因为 $\pi \neq 0$），得到：
$$
\frac{6}{7} a^{7/3} = 6 a^{5/3}
$$
接下来，为了进一步化简，我们可以将方程两边同时除以 $a^{5/3}$（注意 $a > 0$，因为 $a$ 是几何量，所以 $a^{5/3} \neq 0$），得到：
$$
\frac{6}{7} a^{7/3 - 5/3} = 6
$$
计算指数：$7/3 - 5/3 = 2/3$，所以：
$$
\frac{6}{7} a^{2/3} = 6
$$
然后，两边同时乘以 $\frac{7}{6}$ 以分离 $a^{2/3}$：
$$
a^{2/3} = 6 \times \frac{7}{6} = 7
$$
因此，化简后的方程为：
$$
a^{2/3} = 7
$$
这个方程将在下一步中求解 $a$。
公式：$$\frac{6}{7} a^{7/3} = 6 a^{5/3}$$
提示：化简时先约去公共因子，再处理指数部分，逐步降低复杂度。
步骤 11/11
目标：解出a的值
由前一步得到的方程 $\frac{6}{7} a^{7/3} = 6a^{5/3}$，两边同时除以 $6a^{5/3}$（注意 $a>0$，故 $a^{5/3}>0$，除法合法），得：
$$\frac{1}{7} a^{2/3} = 1$$
即
$$a^{2/3} = 7$$
两边同时取 $\frac{3}{2}$ 次幂（或两边立方后再开平方），得：
$$a = 7^{3/2} = \sqrt{7^3} = \sqrt{343} = 7\sqrt{7}$$
因此，$a = 7\sqrt{7}$。
验证：将 $a = 7\sqrt{7}$ 代入原方程 $\frac{6}{7} a^{7/3} = 6a^{5/3}$，左边为 $\frac{6}{7} (7\sqrt{7})^{7/3}$，右边为 $6 (7\sqrt{7})^{5/3}$。由于 $(7\sqrt{7})^{1/3} = 7^{1/2} = \sqrt{7}$，故左边 $= \frac{6}{7} \cdot (7\sqrt{7})^{7/3} = \frac{6}{7} \cdot 7^{7/3} \cdot (\sqrt{7})^{7/3} = \frac{6}{7} \cdot 7^{7/3} \cdot 7^{7/6} = \frac{6}{7} \cdot 7^{7/3+7/6} = \frac{6}{7} \cdot 7^{21/6} = \frac{6}{7} \cdot 7^{7/2}$，右边 $= 6 \cdot (7\sqrt{7})^{5/3} = 6 \cdot 7^{5/3} \cdot 7^{5/6} = 6 \cdot 7^{5/3+5/6} = 6 \cdot 7^{15/6} = 6 \cdot 7^{5/2}$。左边 $= \frac{6}{7} \cdot 7^{7/2} = 6 \cdot 7^{5/2}$，与右边相等，验证正确。
公式：$$a^{2/3} = 7 \quad \Rightarrow \quad a = 7^{3/2} = 7\sqrt{7}$$
提示：解指数方程时，先化同底数幂，再比较指数；注意正数条件保证除法可行。
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