2013年考研数学三第15题

首先，我们需要将题目中出现的三个余弦函数 $\cos x$、$\cos 2x$ 和 $\cos 3x$ 分别展开为麦克劳林级数，并保留到 $x^4$ 项，忽略 $x^5$ 及更高阶的项。 余弦函数的麦克劳林展开式为： $$ \cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{t^6}{6!} + \cdots $$ （1）对于 $\cos x$，直接代入 $t = x$： $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6) $$ （2）对于 $\cos 2x$，令 $t = 2x$： $$ \cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + O(x^6) = 1 - \frac{4x^2}{2} + \frac{16x^4}{24} + O(x^6) $$ 化简得： $$ \cos 2x = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + O(x^6) $$ （3）对于 $\cos 3x$，令 $t = 3x$： $$ \cos 3x = 1 - \frac{(3x)^2}{2!} + \frac{(3x)^4}{4!} + O(x^6) = 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{81x^4}{24} + O(x^6) $$ 化简得： $$ \cos 3x = 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4 + O(x^6) $$ 至此，我们得到了三个余弦函数在 $x=0$ 附近展开到 $x^4$ 项的表达式，为后续步骤中计算分子和分母的展开式做好准备。

首先，写出三个余弦函数的麦克劳林展开式（到$x^4$项）： $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$$ $$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + O(x^6) = 1 - \frac{4x^2}{2} + \frac{16x^4}{24} + O(x^6) = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + O(x^6)$$ $$\cos 3x = 1 - \frac{(3x)^2}{2!} + \frac{(3x)^4}{4!} + O(x^6) = 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{81x^4}{24} + O(x^6) = 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4 + O(x^6)$$ **第一步：计算 $\cos x \cdot \cos 2x$ 到 $x^4$ 项** $$\begin{aligned} \cos x \cdot \cos 2x &= \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right)\left(1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4\right) \\ &= 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2x^2) + 1 \cdot \frac{2}{3}x^4 \\ &\quad + \left(-\frac{x^2}{2}\right) \cdot 1 + \left(-\frac{x^2}{2}\right) \cdot (-2x^2) + \left(-\frac{x^2}{2}\right) \cdot \frac{2}{3}x^4 \\ &\quad + \frac{x^4}{24} \cdot 1 + \frac{x^4}{24} \cdot (-2x^2) + \frac{x^4}{24} \cdot \frac{2}{3}x^4 \end{aligned}$$ 只保留次数不超过4的项： - 常数项：$1$ - $x^2$项：$1 \cdot (-2x^2) + \left(-\frac{x^2}{2}\right) \cdot 1 = -2x^2 - \frac{1}{2}x^2 = -\frac{5}{2}x^2$ - $x^4$项：$1 \cdot \frac{2}{3}x^4 + \left(-\frac{x^2}{2}\right) \cdot (-2x^2) + \frac{x^4}{24} \cdot 1 = \frac{2}{3}x^4 + x^4 + \frac{1}{24}x^4 = \left(\frac{16}{24} + \frac{24}{24} + \frac{1}{24}\right)x^4 = \frac{41}{24}x^4$ 所以 $$\cos x \cdot \cos 2x = 1 - \frac{5}{2}x^2 + \frac{41}{24}x^4 + O(x^6)$$ **第二步：将上述结果与 $\cos 3x$ 相乘** $$\begin{aligned} \cos x \cos 2x \cos 3x &= \left(1 - \frac{5}{2}x^2 + \frac{41}{24}x^4\right)\left(1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4\right) \\ &= 1 \cdot 1 + 1 \cdot \left(-\frac{9}{2}x^2\right) + 1 \cdot \frac{27}{8}x^4 \\ &\quad + \left(-\frac{5}{2}x^2\right) \cdot 1 + \left(-\frac{5}{2}x^2\right) \cdot \left(-\frac{9}{2}x^2\right) + \left(-\frac{5}{2}x^2\right) \cdot \frac{27}{8}x^4 \\ &\quad + \frac{41}{24}x^4 \cdot 1 + \frac{41}{24}x^4 \cdot \left(-\frac{9}{2}x^2\right) + \frac{41}{24}x^4 \cdot \frac{27}{8}x^4 \end{aligned}$$ 只保留次数不超过4的项： - 常数项：$1$ - $x^2$项：$1 \cdot \left(-\frac{9}{2}x^2\right) + \left(-\frac{5}{2}x^2\right) \cdot 1 = -\frac{9}{2}x^2 - \frac{5}{2}x^2 = -7x^2$ - $x^4$项：$1 \cdot \frac{27}{8}x^4 + \left(-\frac{5}{2}x^2\right) \cdot \left(-\frac{9}{2}x^2\right) + \frac{41}{24}x^4 \cdot 1 = \frac{27}{8}x^4 + \frac{45}{4}x^4 + \frac{41}{24}x^4$ 通分计算：$\frac{27}{8} = \frac{81}{24}$，$\frac{45}{4} = \frac{270}{24}$，$\frac{41}{24}$不变，相加得 $\frac{81+270+41}{24} = \frac{392}{24} = \frac{49}{3}$ 所以 $$\cos x \cos 2x \cos 3x = 1 - 7x^2 + \frac{49}{3}x^4 + O(x^6)$$

在上一节中，我们得到了乘积的展开式： $$\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+o(x^6)\right)\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}-\frac{x^6}{48}+o(x^6)\right) = 1 - x^2 + \frac{7}{12}x^4 - \frac{13}{90}x^6 + o(x^6).$$ 现在我们需要计算 $1$ 减去这个乘积，即： $$1 - \left[1 - x^2 + \frac{7}{12}x^4 - \frac{13}{90}x^6 + o(x^6)\right].$$ 逐项相减： - $1 - 1 = 0$； - $1 - (-x^2) = +x^2$，但注意是减去整个括号，所以实际上是 $1 - 1 + x^2 - \frac{7}{12}x^4 + \frac{13}{90}x^6 + o(x^6)$，即 $x^2 - \frac{7}{12}x^4 + \frac{13}{90}x^6 + o(x^6)$。 因此， $$1 - \text{乘积} = x^2 - \frac{7}{12}x^4 + \frac{13}{90}x^6 + o(x^6).$$ 观察此表达式，最低阶项为 $x^2$（系数为1），更高阶项为 $x^4$、$x^6$ 等。在 $x \to 0$ 时，$x^2$ 是主导项，$x^4$ 及更高阶项相对于 $x^2$ 是高阶无穷小，因此等价无穷小主部为 $x^2$。即： $$1 - \text{乘积} \sim x^2 \quad (x \to 0).$$ 确认：$\frac{-\frac{7}{12}x^4}{x^2} = -\frac{7}{12}x^2 \to 0$，$\frac{\frac{13}{90}x^6}{x^2} = \frac{13}{90}x^4 \to 0$，故更高阶项不影响等价无穷小。

由前一步得到的极限表达式： $$ \lim_{x \to 0} \frac{7x^2 + o(x^2)}{x^n} = 7 \neq 0. $$ 要使该极限为非零常数，分母$x^n$必须与分子中的主部$7x^2$同阶。因此，$n$应等于分子中$x$的最低次幂的指数，即$n=2$。此时极限值为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{7x^2 + o(x^2)}{x^2} = 7. $$ 根据题目条件，该极限值等于$a$，故$a=7$。 验证：将$n=2$，$a=7$代入原极限表达式，计算得： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax^2)}{x^n} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+7x^2)}{x^2}. $$ 利用等价无穷小$\ln(1+u) \sim u$（当$u \to 0$），有$\ln(1+7x^2) \sim 7x^2$，因此极限为$7$，与$a=7$一致。 最终答案：$n=2$，$a=7$。