2014年考研数学三第14题

已知总体$X$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases} \dfrac{2x}{3\theta^2}, & \theta \leq x \leq 2\theta \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。总体二阶矩$E(X^2)$定义为$E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) dx$。由于$f(x)$在区间$[\theta, 2\theta]$上非零，因此积分限为$\theta$到$2\theta$。代入$f(x)$得：$$E(X^2)=\int_{\theta}^{2\theta} x^2 \cdot \frac{2x}{3\theta^2} dx = \frac{2}{3\theta^2} \int_{\theta}^{2\theta} x^3 dx.$$计算定积分$\int_{\theta}^{2\theta} x^3 dx$：$$\int_{\theta}^{2\theta} x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{\theta}^{2\theta} = \frac{(2\theta)^4}{4} - \frac{\theta^4}{4} = \frac{16\theta^4}{4} - \frac{\theta^4}{4} = \frac{15\theta^4}{4}.$$因此，$$E(X^2)=\frac{2}{3\theta^2} \cdot \frac{15\theta^4}{4} = \frac{2 \cdot 15 \theta^4}{3 \theta^2 \cdot 4} = \frac{30\theta^2}{12} = \frac{5\theta^2}{2}.$$所以总体二阶矩$E(X^2)=\dfrac{5\theta^2}{2}$。

首先计算积分 $\int_{\theta}^{2\theta} x^3 \, dx$。根据幂函数积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$），这里 $n=3$，所以原函数为 $\frac{x^4}{4}$。于是定积分值为： $$\int_{\theta}^{2\theta} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{\theta}^{2\theta} = \frac{(2\theta)^4}{4} - \frac{\theta^4}{4} = \frac{16\theta^4}{4} - \frac{\theta^4}{4} = \frac{15\theta^4}{4}.$$ 因此，$\int_{\theta}^{2\theta} x^3 \, dx = \frac{15}{4}\theta^4$。 接下来，将此结果代入 $E(X^2)$ 的表达式中。由前一步骤已知 $E(X^2) = \frac{2}{3\theta^2} \int_{\theta}^{2\theta} x^3 \, dx$，将积分结果代入得： $$E(X^2) = \frac{2}{3\theta^2} \cdot \frac{15}{4}\theta^4 = \frac{2 \times 15}{3 \times 4} \cdot \frac{\theta^4}{\theta^2} = \frac{30}{12} \theta^2 = \frac{5}{2} \theta^2.$$ 所以，$E(X^2) = \frac{5}{2}\theta^2$。至此，积分计算完成，得到了 $E(X^2)$ 关于 $\theta$ 的表达式。

根据题目要求，我们需要找到常数$c$使得$c\sum_{i=1}^{n}X_i^2$是参数$\theta^2$的无偏估计量。无偏估计的条件是：$E\left(c\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right)=\theta^2$。 首先，利用期望的线性性质，将常数$c$提到期望外面： $$E\left(c\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right)=c\,E\left(\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right)=c\sum_{i=1}^{n}E(X_i^2).$$ 由于$X_1,X_2,\ldots,X_n$是来自同一总体的独立同分布样本，每个$X_i$的分布相同，因此$E(X_i^2)$对所有的$i$都相等。设$E(X_i^2)=\mu_2$，则 $$c\sum_{i=1}^{n}E(X_i^2)=c\cdot n\cdot \mu_2.$$ 接下来需要计算$\mu_2=E(X_i^2)$。由题目已知条件，总体$X$服从参数为$\theta$的瑞利分布，其概率密度函数为$f(x;\theta)=\frac{x}{\theta^2}e^{-x^2/(2\theta^2)},\ x>0$。计算二阶原点矩： $$E(X^2)=\int_0^{+\infty}x^2\cdot\frac{x}{\theta^2}e^{-x^2/(2\theta^2)}\,dx=\frac{1}{\theta^2}\int_0^{+\infty}x^3e^{-x^2/(2\theta^2)}\,dx.$$ 令$t=\frac{x^2}{2\theta^2}$，则$x=\sqrt{2\theta^2 t}$，$dx=\frac{\theta^2}{\sqrt{2\theta^2 t}}\,dt$，$x^3=(2\theta^2 t)^{3/2}$。代入得： $$E(X^2)=\frac{1}{\theta^2}\int_0^{+\infty}(2\theta^2 t)^{3/2}e^{-t}\cdot\frac{\theta^2}{\sqrt{2\theta^2 t}}\,dt=\frac{1}{\theta^2}\int_0^{+\infty}2\theta^4\cdot t\,e^{-t}\,dt=2\theta^2\int_0^{+\infty}t e^{-t}\,dt.$$ 而$\int_0^{+\infty}t e^{-t}\,dt=\Gamma(2)=1!=1$，所以$E(X^2)=2\theta^2$。 但题目中给出的信息是$E(X_i^2)=\frac{5}{2}\theta^2$，这与瑞利分布的标准二阶矩$2\theta^2$不同。因此，题目中的总体分布可能不是标准瑞利分布，而是经过某种参数化调整。我们直接采用题目给定的结果：$E(X_i^2)=\frac{5}{2}\theta^2$。 于是， $$E\left(c\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right)=c\cdot n\cdot \frac{5}{2}\theta^2 = \frac{5nc}{2}\theta^2.$$ 令其等于$\theta^2$，得到关于$c$的方程： $$\frac{5nc}{2}\theta^2 = \theta^2.$$ 由于$\theta^2>0$，两边同时除以$\theta^2$，得： $$\frac{5nc}{2}=1.$$ 这就是本步骤要建立的方程。

本步骤的目标是从等式 $\frac{5nc}{2}\theta^2 = \theta^2$ 中解出常数 $c$。首先，由于题目中已明确 $\theta > 0$，因此 $\theta^2 \neq 0$，可以在等式两边同时除以 $\theta^2$，得到 $\frac{5nc}{2} = 1$。接下来，将等式两边同时乘以 $\frac{2}{5n}$（即两边同除以 $\frac{5n}{2}$），得到 $c = \frac{2}{5n}$。至此，常数 $c$ 已成功解出。验证：将 $c = \frac{2}{5n}$ 代入原式 $\frac{5nc}{2}\theta^2$，得 $\frac{5n \cdot \frac{2}{5n}}{2}\theta^2 = \frac{2}{2}\theta^2 = \theta^2$，与等式右边一致，说明解正确。因此，最终答案为 $c = \frac{2}{5n}$。