📝 2014年考研数学三

$\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，且 $a \neq 0$ ，则当 $n$ 充分大时有

下列曲线中有渐近线的是

设 $p(x)=a+b x+c x^{2}+d x^{3}$ 。当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $p(x)-\tan x$ 是比 $x^{3}$ 高阶的无穷小量，则下列选项中错误的是

设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数，$g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$ ，则在区间 $[0,1]$ 上

行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$

设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 均为3维向量，则对任意常数 $k, l$ ，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+k \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+l \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关的

设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P（B）=0.5, P(A-B)=0.3$ ，则 $P(B-A)=$

设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 为来自正态总体 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，则统计量 $S=\displaystyle\frac{X_{1}-X_{2}}{\sqrt{2}\left|X_{3}\right|}$ 服从的分布为

设某商品的需求函数为 $Q=40-2 P$（ $P$ 为商品的价格），则该商品的边际收益为 $\_\_\_\_$ ．

设 $D$ 是由曲线 $x y+1=0$ 与直线 $y+x=0$ 及 $y=2$ 围成的有界区域，则 $D$ 的面积为 $\_\_\_\_$ ．

设 $\displaystyle\int_{0}^{a} x \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{1}{4}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

二次积分 $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle\int_{y}^{1}\left(\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{x}-\mathrm{e}^{y^{2}}\right) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+2 a x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 的负惯性指数为 1 ，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

设总体 $X$ 的概率密度为 $$ f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{2 x}{3 \theta^{2}}, & \theta\lt x\lt 2 \theta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases} $$
其中 $\theta$ 是未知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本．若 $E\left(c \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}\right)=\theta^{2}$ ，则 $c=$

求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\displaystyle\int_{1}^{x}\left[t^{2}\left(\mathrm{e}^{\displaystyle\frac{1}{t}}-1\right)-t\right] \mathrm{d} t}{x^{2} \ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)}$ ．

设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ，计算 $\iint_{D} \displaystyle\frac{x \sin \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

设函数 $f(u)$ 具有连续导数，且 $z=f\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right)$ 满足
$$ \cos y \frac{\partial z}{\partial x}-\sin y \frac{\partial z}{\partial y}=\left(4 z+\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{x} $$
若 $f(0)=0$ ，求 $f(u)$ 的表达式。

求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+3) x^{n}$ 的收敛域及和函数．

设函数 $f(x), g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)$ 单调增加， $0 \leqslant g(x) \leqslant 1$ 。证明： （ I ） $0 \leqslant \displaystyle\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t \leqslant x-a, x \in[a, b]$ ； （II） $\displaystyle\int_{a}^{a+} \displaystyle\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t(x) \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$.

设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right), \boldsymbol{E}$ 为3阶单位矩阵。 （I）求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系； （II）求满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ 的所有矩阵 $\boldsymbol{B}$ 。

证明 $n$ 阶矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n\end{array}\right)$ 相似。

设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=P\{X=2\}=\displaystyle\frac{1}{2}$ 。在给定 $X=i$ 的条件下，随机变量 $Y$ 服从均匀分布 $U(0, i)(i=1,2)$ 。 （I）求 $Y$ 的分布函数 $F_{Y}(y)$ ； （II）求 $E(Y)$ 。

设随机变量 $X, Y$ 的概率分布相同，$X$ 的概率分布为 $P\{X=0\}=\displaystyle\frac{1}{3}, P\{X=1\}=\displaystyle\frac{2}{3}$ ，且 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=\displaystyle\frac{1}{2}$ ． （I）求 $(X, Y)$ 的概率分布； （II）求 $P\{X+Y \leqslant 1\}$ 。