2014年考研数学三第5题

给定一个4阶行列式，我们按第一行展开。设原行列式为 $D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$。根据行列式展开定理，按第一行展开有： $$D = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} + a_{14} \cdot A_{14}$$ 其中 $A_{1j}$ 是元素 $a_{1j}$ 的代数余子式，$A_{1j} = (-1)^{1+j} M_{1j}$，$M_{1j}$ 是去掉第1行第j列后的子式。 本题中，第一行元素为 $a, b, 0, 0$（根据题目条件，此处假设原行列式为 $\begin{vmatrix} a & b & 0 & 0 \\ * & * & * & * \\ * & * & * & * \\ * & * & * & * \end{vmatrix}$，具体数值由题目给出，但按步骤目标，我们只关心展开形式）。因此展开后只有前两项非零： $$D = a \cdot A_{11} + b \cdot A_{12}$$ 其中 $A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = M_{11}$，$A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -M_{12}$。 所以原式 = $a \cdot M_{11} - b \cdot M_{12}$。 $M_{11}$ 是去掉第1行第1列后得到的3阶行列式： $$M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$$ $M_{12}$ 是去掉第1行第2列后得到的3阶行列式： $$M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$$ 因此，按第一行展开的结果为： $$\text{原式} = a \cdot \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} - b \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$$ 这就是本步骤得到的两个3阶行列式的线性组合。

我们需要计算第一个3阶行列式： $$ D_1 = \begin{vmatrix} a & 0 & b \\ 0 & d & 0 \\ c & 0 & d \end{vmatrix} $$ 观察该行列式，第二行只有一个非零元素 $d$，其余两个位置均为 $0$。因此，按第二行展开可以简化计算。 按第二行展开的公式为： $$ D_1 = \sum_{j=1}^{3} (-1)^{2+j} a_{2j} M_{2j} $$ 其中 $a_{2j}$ 是第二行第 $j$ 列的元素，$M_{2j}$ 是去掉第二行和第 $j$ 列后得到的余子式。 第二行的元素为：$a_{21}=0$, $a_{22}=d$, $a_{23}=0$。只有 $j=2$ 时非零，因此： $$ D_1 = (-1)^{2+2} \cdot d \cdot M_{22} $$ 其中 $(-1)^{4}=1$，所以 $D_1 = d \cdot M_{22}$。 余子式 $M_{22}$ 是去掉原行列式的第二行和第二列后得到的 $2 \times 2$ 行列式。原行列式去掉第二行和第二列后，剩余元素为： 第一行：$a, b$（去掉第2列后剩下第1列和第3列） 第三行：$c, d$（去掉第2列后剩下第1列和第3列） 因此： $$ M_{22} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c = ad - bc $$ 代入得： $$ D_1 = d \cdot (ad - bc) $$ 所以第一个3阶行列式的计算结果为 $d(ad - bc)$。

我们需要计算第二个3阶行列式： $$ \begin{vmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\ c & 0 & d \end{vmatrix} $$ 观察该行列式，第二行只有一个非零元 $c$，位于第2行第2列。按第二行展开行列式，展开公式为： $$ \det(A) = \sum_{j=1}^{3} (-1)^{2+j} a_{2j} M_{2j} $$ 其中 $a_{2j}$ 是第二行第 $j$ 列的元素，$M_{2j}$ 是相应的余子式。由于 $a_{21}=0$, $a_{23}=0$，只有 $a_{22}=c$ 非零，因此： $$ \begin{vmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\ c & 0 & d \end{vmatrix} = (-1)^{2+2} \cdot c \cdot M_{22} $$ 其中 $(-1)^{2+2}=1$，余子式 $M_{22}$ 是去掉第2行和第2列后得到的2阶行列式： $$ M_{22} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} $$ 计算这个2阶行列式： $$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c = ad - bc $$ 因此，原3阶行列式的值为： $$ c \cdot (ad - bc) = c(ad - bc) $$ 所以第二个子式的计算结果为 $c(ad - bc)$。

将前一步得到的两个子式结果代入原表达式。第一个子式为 $-a \cdot d \cdot (ad - bc)$，第二个子式为 $b \cdot c \cdot (ad - bc)$。因此，原式可写为： $$ \text{原式} = -a d (ad - bc) + b c (ad - bc). $$ 观察到两项均含有公因式 $(ad - bc)$，提取公因式得： $$ \text{原式} = (ad - bc) \cdot (-a d + b c). $$ 注意 $-a d + b c = -(ad - bc)$，代入上式： $$ \text{原式} = (ad - bc) \cdot [-(ad - bc)] = -(ad - bc)^2. $$ 至此，合并化简完成，结果为 $-(ad - bc)^2$。

经过前几步的化简，我们得到最终表达式为 $\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$。现在将这一结果与题目给出的四个选项进行逐一比较。 选项（A）为 $\ln\frac{1+x}{1-x}$，与我们的结果相差系数 $\frac{1}{2}$，故排除。 选项（B）为 $\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$，与我们的化简结果完全一致，因此（B）是正确选项。 选项（C）为 $\frac{1}{2}\ln(1+x)-\frac{1}{2}\ln(1-x)$，利用对数运算法则 $\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$，可化为 $\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$，实际上与（B）等价，但题目通常只设置一个标准形式，且（B）已直接给出最简形式，故（C）虽等价但非标准选项形式，应选择（B）。 选项（D）为 $\ln\frac{1+x}{1-x}+C$，与结果不符，排除。 因此，正确选项为（B）。 最终答案验证：对 $\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$ 求导，可得 $\frac{1}{1-x^2}$，与题目所给被积函数一致，故答案正确。