2014年考研数学三第4题

为了证明存在一点 $c \in (0,1)$ 使得 $f(c) = f(0)(1-c) + f(1)c$，我们考虑构造辅助函数 $\varphi(x)$。令 $\varphi(x) = f(x) - g(x)$，其中 $g(x) = f(0)(1-x) + f(1)x$。这里 $g(x)$ 是连接点 $(0, f(0))$ 和 $(1, f(1))$ 的线性函数，即直线方程。于是 $\varphi(x)$ 表示函数 $f(x)$ 与这条直线的差值。 首先计算 $\varphi(x)$ 在区间端点 $x=0$ 和 $x=1$ 处的值。 当 $x=0$ 时： $$\varphi(0) = f(0) - [f(0)(1-0) + f(1)\cdot 0] = f(0) - f(0) = 0.$$ 当 $x=1$ 时： $$\varphi(1) = f(1) - [f(0)(1-1) + f(1)\cdot 1] = f(1) - f(1) = 0.$$ 因此，$\varphi(0) = \varphi(1) = 0$，即辅助函数在区间端点处取值为零。这一性质为后续应用罗尔定理（Rolle's Theorem）提供了条件。由于题目未明确给出 $f(x)$ 的具体形式，但通常假设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，则 $\varphi(x)$ 也具有相同的连续性和可导性。接下来，我们可以利用罗尔定理证明存在 $c \in (0,1)$ 使得 $\varphi'(c)=0$，进而得到所需等式。

首先，由第一步已知 $\varphi(x) = f(x) - f(0) - [f(1)-f(0)]x$，其中 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导且 $f''(x) \geq 0$。 对 $\varphi(x)$ 求一阶导数： $$\varphi'(x) = f'(x) - [f(1)-f(0)].$$ 再对 $\varphi'(x)$ 求导，得到二阶导数： $$\varphi''(x) = f''(x).$$ 由题目条件 $f''(x) \geq 0$ 对任意 $x \in [0,1]$ 成立，因此 $\varphi''(x) \geq 0$ 在 $[0,1]$ 上恒成立。 根据函数凹凸性的判定定理：若函数在区间上二阶导数非负，则函数在该区间上是凸函数（下凸）。因此，$\varphi(x)$ 在 $[0,1]$ 上是凸函数。 凸函数的几何意义是：函数图像位于其任意两点连线的下方（或等于）。这一性质将在后续步骤中用于证明 $\varphi(x) \leq 0$。

由前一步已知函数 $\varphi(x)=f(x)-g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上是凸函数，且 $\varphi(a)=\varphi(b)=0$。根据凸函数的性质，对于区间内任意一点 $x \in (a,b)$，凸函数的图像位于连接端点 $(a,\varphi(a))$ 和 $(b,\varphi(b))$ 的弦的下方。由于 $\varphi(a)=\varphi(b)=0$，该弦即为 $x$ 轴上的线段 $y=0$。因此，对于任意 $x \in [a,b]$，有 $\varphi(x) \leq 0$。即 $f(x)-g(x) \leq 0$，从而 $f(x) \leq g(x)$。这一结论表明，在区间 $[a,b]$ 上，函数 $f(x)$ 的值始终不超过函数 $g(x)$ 的值。特别地，当 $x$ 为区间内点时，严格不等式 $f(x) < g(x)$ 成立，除非 $f$ 与 $g$ 均为线性函数（此时 $\varphi(x)\equiv0$）。因此，通过凸函数的这一几何性质，我们完成了对两个函数大小关系的比较。

由前一步的推导可知，当 $f''(x) \geq 0$ 时，函数 $f(x)$ 为凸函数，此时对于任意 $x \in [a,b]$，有 $f(x) \leq g(x)$，其中 $g(x)$ 是连接端点 $(a,f(a))$ 与 $(b,f(b))$ 的线性函数。这一结论对应于选项 (D)。 对于选项 (A)、(B)、(C)，它们均依赖于一阶导数的条件。然而，仅由一阶导数 $f'(x)$ 的单调性或符号无法确定 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的大小关系。例如，若 $f'(x)$ 单调递增，但 $f''(x)$ 可能为负，此时 $f(x)$ 为凹函数，反而有 $f(x) \geq g(x)$；若 $f'(x)$ 单调递减，但 $f''(x)$ 可能为正，此时 $f(x)$ 为凸函数，有 $f(x) \leq g(x)$。因此，仅凭一阶导数条件无法推出确定的大小关系，故排除 (A)、(B)、(C)。 最终，正确选项为 (D)。验证：当 $f''(x) \geq 0$ 时，由凸函数的性质，曲线 $y=f(x)$ 位于连接两端点的弦的下方，即 $f(x) \leq g(x)$，与选项 (D) 一致。