2014年考研数学三第3题

首先，我们需要将函数 $\tan x$ 在 $x=0$ 处展开为泰勒级数。由于 $\tan x$ 是奇函数，其展开式中只包含奇次项。我们利用已知的 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的泰勒展开式来推导 $\tan x$ 的展开式。 已知： $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$$ $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$$ 设 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，我们假设其展开式为 $\tan x = a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + \cdots$。将 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的展开式代入，并利用长除法或待定系数法确定系数。 采用待定系数法：设 $$\tan x = a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + O(x^7)$$ 则 $$\sin x = \tan x \cdot \cos x$$ 即 $$x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7) = (a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + O(x^7)) \cdot \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)\right)$$ 展开右边： $$= a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 - \frac{a_1}{2} x^3 - \frac{a_3}{2} x^5 + \frac{a_1}{24} x^5 + O(x^7)$$ 合并同类项： $$= a_1 x + \left(a_3 - \frac{a_1}{2}\right) x^3 + \left(a_5 - \frac{a_3}{2} + \frac{a_1}{24}\right) x^5 + O(x^7)$$ 比较两边系数： - $x$ 项：$a_1 = 1$ - $x^3$ 项：$a_3 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$，解得 $a_3 = \frac{1}{3}$ - $x^5$ 项：$a_5 - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{1}{120}$，解得 $a_5 = \frac{2}{15}$ 因此，$\tan x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为： $$\tan x = x + \frac{1}{3} x^3 + \frac{2}{15} x^5 + O(x^7)$$ 本题只需要用到前三项，即 $\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$。

已知多项式 $p(x)=a+bx+cx^2+dx^3$，且 $ an x$ 在 $x=0$ 处的带皮亚诺余项的泰勒展开式为： $$ \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3). $$ 现在需要构造 $p(x)-\tan x$ 的表达式，以便后续令其各阶系数为零，从而确定待定系数 $a,b,c,d$。 将 $p(x)$ 与 $ an x$ 的展开式相减： $$ p(x)-\tan x = (a+bx+cx^2+dx^3) - \left(x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)\right). $$ 逐项相减，注意 $o(x^3)$ 是无穷小量，相减后仍为 $o(x^3)$： - 常数项：$a$ 减去 $0$ 得 $a$； - $x$ 项：$bx$ 减去 $x$ 得 $(b-1)x$； - $x^2$ 项：$cx^2$ 减去 $0$ 得 $c x^2$； - $x^3$ 项：$dx^3$ 减去 $\frac{1}{3}x^3$ 得 $\left(d-\frac{1}{3}\right)x^3$； - 高阶无穷小：$0 - o(x^3) = -o(x^3)$，但通常仍记为 $o(x^3)$（因为 $-o(x^3)$ 也是 $x^3$ 的高阶无穷小）。 因此得到： $$ p(x)-\tan x = a + (b-1)x + c x^2 + \left(d-\frac{1}{3}\right)x^3 + o(x^3). $$ 这个表达式是后续步骤的基础：要使 $p(x)$ 是 $ an x$ 的三阶泰勒多项式，必须令 $a=0$，$b-1=0$，$c=0$，$d-\frac{1}{3}=0$，从而解出 $a=0$，$b=1$，$c=0$，$d=\frac{1}{3}$。

已知 $p(x) - \tan x$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小，即 $p(x) - \tan x = o(x^3)$（当 $x \to 0$）。这意味着 $p(x) - \tan x$ 的泰勒展开式中，所有次数不超过 $3$ 的项系数必须全部为零。 首先，写出 $\tan x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式（到 $x^3$ 项）： $$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3).$$ 设 $p(x)$ 为多项式，其一般形式可写为： $$p(x) = a + b x + c x^2 + d x^3 + \cdots$$ （由于 $p(x) - \tan x$ 是 $x^3$ 的高阶无穷小，$p(x)$ 中高于 $x^3$ 的项不影响 $x^0, x^1, x^2, x^3$ 的系数，但题目中 $p(x)$ 通常为三次多项式，故我们只写到 $x^3$ 项。） 计算 $p(x) - \tan x$： $$p(x) - \tan x = (a + b x + c x^2 + d x^3) - \left(x + \frac{1}{3}x^3\right) + o(x^3)$$ $$= a + (b-1)x + c x^2 + \left(d - \frac{1}{3}\right)x^3 + o(x^3).$$ 由于该差是比 $x^3$ 高阶的无穷小，即其泰勒展开中 $x^0, x^1, x^2, x^3$ 的系数必须全部为零，因此得到方程组： \begin{cases} a = 0, \\ b - 1 = 0, \\ c = 0, \\ d - \dfrac{1}{3} = 0. \end{cases} 由此解得：$a = 0,\; b = 1,\; c = 0,\; d = \dfrac{1}{3}$。