2014年考研数学三第2题

首先，我们需要明确曲线$y=f(x)$的斜渐近线的定义与求解条件。斜渐近线是一条直线$y=kx+b$，当$x\to +\infty$或$x\to -\infty$时，曲线上的点$(x,f(x))$到该直线的距离趋于零。其数学条件为：极限$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=k$存在且为有限实数，同时极限$\lim_{x\to\infty}[f(x)-kx]=b$存在且为有限实数。这里$k$是渐近线的斜率，$b$是截距。注意，当$k=0$时，斜渐近线退化为水平渐近线$y=b$；当$k$不存在或为无穷大时，曲线可能没有斜渐近线，但可能存在垂直渐近线（$x=a$，满足$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$）。在求解过程中，通常先计算$k$，再计算$b$，且必须分别考虑$x\to +\infty$和$x\to -\infty$两个方向，因为两侧的渐近线可能不同。本步骤为后续计算打下基础，确保理解渐近线的定义和求解顺序。

选项A给出的曲线为$y = x + \sin x$。要判断该曲线是否有斜渐近线，需按斜渐近线的定义进行验证。 斜渐近线的一般形式为$y = kx + b$，其中斜率$k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{y}{x}$，截距$b = \lim\limits_{x \to \infty} (y - kx)$。 首先计算斜率$k$： $$k = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\sin x}{x}\right) = 1 + \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}.$$ 由于$|\sin x| \leq 1$，故$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$，因此$k = 1$。 接着计算截距$b$： $$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (x + \sin x - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \infty} \sin x.$$ 然而，$\lim\limits_{x \to \infty} \sin x$不存在，因为$\sin x$在$-1$到$1$之间振荡，不趋于任何固定值。因此，$b$不存在，故曲线$y = x + \sin x$没有斜渐近线。 注意：虽然$k$存在，但$b$必须存在且有限，斜渐近线才存在。这里$b$不存在，所以选项A不正确。

分析选项B：函数 $y = x^2 + \sin x$。 首先，判断是否存在水平渐近线。水平渐近线要求 $\lim_{x \to \infty} y$ 或 $\lim_{x \to -\infty} y$ 为有限常数。由于 $x^2 \to \infty$，$\sin x$ 有界，因此 $\lim_{x \to \infty} (x^2 + \sin x) = \infty$，不存在水平渐近线。 其次，判断是否存在斜渐近线。斜渐近线 $y = kx + b$ 存在的条件是： $$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} \quad \text{存在且为有限非零常数}$$ $$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) \quad \text{存在且为有限常数}$$ 计算斜率 $k$： $$k = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + \sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( x + \frac{\sin x}{x} \right)$$ 由于 $\lim_{x \to \infty} x = \infty$，而 $\frac{\sin x}{x} \to 0$，所以 $k = \infty$，不是有限常数。因此斜率 $k$ 不存在，故函数 $y = x^2 + \sin x$ 没有斜渐近线。 综上，选项B对应的函数无渐近线，故选项B错误。

分析选项C：$y = x + \sin\frac{1}{x}$。 首先判断该曲线是否有斜渐近线。斜渐近线的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，$b = \lim\limits_{x \to \infty} [f(x) - kx]$。 对于 $f(x) = x + \sin\frac{1}{x}$，计算斜率 $k$： $$ k = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin\frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}\right) = 1 + 0 = 1. $$ 这里利用了 $\left|\sin\frac{1}{x}\right| \leq 1$，所以 $\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x} \to 0$ 当 $x \to \infty$。 然后计算截距 $b$： $$ b = \lim_{x \to \infty} \left[ \left(x + \sin\frac{1}{x}\right) - 1 \cdot x \right] = \lim_{x \to \infty} \sin\frac{1}{x} = 0. $$ 因为当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，所以 $\sin\frac{1}{x} \to 0$。 由于 $k = 1$ 和 $b = 0$ 均存在且有限，因此曲线 $y = x + \sin\frac{1}{x}$ 有斜渐近线 $y = x$。 注意：当 $x \to 0$ 时，$\sin\frac{1}{x}$ 振荡无极限，但渐近线只考虑 $x \to \infty$ 或 $x \to -\infty$ 的情形，此处 $x \to \infty$ 满足条件。 因此选项C正确。

分析选项D：$y = x^2 + \sin\frac{1}{x}$。首先考虑是否存在水平渐近线。当$x \to \infty$时，$x^2 \to \infty$，而$\sin\frac{1}{x}$有界（介于-1与1之间），因此$y \to \infty$，不存在水平渐近线。再考虑是否存在斜渐近线。设斜渐近线为$y = kx + b$，其中$k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{y}{x}$。计算：$$k = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + \sin\frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( x + \frac{\sin\frac{1}{x}}{x} \right).$$由于$\lim\limits_{x \to \infty} x = \infty$，且$\frac{\sin\frac{1}{x}}{x} \to 0$（因为分子有界，分母趋于无穷），故$k = \infty$，即斜率不存在，因此该曲线无斜渐近线。最后考虑是否存在垂直渐近线。函数在$x=0$处无定义，但$x \to 0$时，$x^2 \to 0$，$\sin\frac{1}{x}$振荡无极限，因此$y$不趋于无穷，故$x=0$不是垂直渐近线。综上，选项D所给曲线无任何渐近线。结合前面对选项A、B、C的分析，只有选项C正确。因此本题答案为C。