2014年考研数学三第9题

已知需求函数为 $Q = 40 - 2P$，其中 $Q$ 表示需求量，$P$ 表示价格。为了将价格 $P$ 表示为需求量 $Q$ 的函数，我们需要对原方程进行移项和化简。 首先，将原方程 $Q = 40 - 2P$ 中的 $-2P$ 项移到等号左边，同时将 $Q$ 移到等号右边，得到： $$2P = 40 - Q$$ 然后，将等式两边同时除以系数 $2$，即可解出 $P$： $$P = \frac{40 - Q}{2}$$ 进一步化简，将分子中的每一项分别除以分母 $2$： $$P = \frac{40}{2} - \frac{Q}{2} = 20 - \frac{Q}{2}$$ 因此，反解出的价格函数为 $P = 20 - \frac{Q}{2}$。这个表达式将价格 $P$ 表示为需求量 $Q$ 的线性函数，斜率为 $-\frac{1}{2}$，截距为 $20$。 注意：在反解过程中，要确保代数运算的准确性，特别是移项时符号的变化以及除法运算的正确性。

收益函数 $R(Q)$ 表示厂商销售 $Q$ 单位产品所获得的总收入。根据题目条件，需求函数为 $P = 20 - \frac{Q}{2}$，其中 $P$ 是价格，$Q$ 是需求量（即销售量）。收益等于价格乘以销售量，即 $R(Q) = P \cdot Q$。将需求函数代入得：$$R(Q) = \left(20 - \frac{Q}{2}\right) \cdot Q = 20Q - \frac{Q^2}{2}.$$ 因此，收益函数是一个关于 $Q$ 的二次函数，开口向下，顶点在 $Q = 20$ 处取得最大值。注意，这里 $Q$ 的取值范围应满足 $P \geq 0$，即 $20 - \frac{Q}{2} \geq 0$，解得 $Q \leq 40$，同时 $Q \geq 0$，所以定义域为 $0 \leq Q \leq 40$。该收益函数将在后续步骤中用于计算利润函数和最优产量。

边际收益是收益函数对产量$Q$的导数，表示每增加一单位产量所增加的收益。已知收益函数为$R(Q)=20Q-\frac{1}{2}Q^2$。对$R(Q)$求导： $$R'(Q)=\frac{d}{dQ}\left(20Q-\frac{1}{2}Q^2\right)=20-\frac{1}{2}\cdot 2Q=20-Q.$$ 因此，边际收益函数为$R'(Q)=20-Q$。 **最终答案验证**：将$Q=0$代入，得$R'(0)=20$，表示初始边际收益为20；将$Q=20$代入，得$R'(20)=0$，此时总收益达到最大值，符合经济学中边际收益递减规律。若将$Q=10$代入，$R'(10)=10$，表示当产量为10时，再增加一单位产量收益增加10。该结果与收益函数$R(Q)$的二次型性质一致，验证了导数的正确性。