2014年考研数学三第8题

已知随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立，且均服从正态分布 $N(0, \sigma^2)$。根据正态分布的线性性质，两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布。考虑分子 $X_1 - X_2$，其期望为 $E(X_1 - X_2) = E(X_1) - E(X_2) = 0 - 0 = 0$，方差为 $D(X_1 - X_2) = D(X_1) + D(X_2) = \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2$（由于独立，协方差为零）。因此，$X_1 - X_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$。 为了将分子标准化为标准正态分布，我们对其进行标准化变换：令 $Z = \frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}\sigma}$。则 $Z$ 的期望为 $E(Z) = \frac{1}{\sqrt{2}\sigma} E(X_1 - X_2) = 0$，方差为 $D(Z) = \frac{1}{2\sigma^2} D(X_1 - X_2) = \frac{1}{2\sigma^2} \cdot 2\sigma^2 = 1$。由于正态分布的线性变换仍为正态分布，故 $Z \sim N(0, 1)$，即标准正态分布。 这一标准化步骤是后续构造 $t$ 分布或 $\chi^2$ 分布的基础，因为分子部分需要以标准正态形式出现，才能与分母的卡方分布组合成 $t$ 统计量。

已知随机变量 $X_3$ 服从正态分布 $N(0, \sigma^2)$，即均值为 $0$，方差为 $\sigma^2$。根据正态分布的性质，对 $X_3$ 进行标准化处理：令 $Z = \frac{X_3}{\sigma}$，则 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。 进一步，考虑 $Z^2 = \left(\frac{X_3}{\sigma}\right)^2 = \frac{X_3^2}{\sigma^2}$。由卡方分布的定义：若 $Z \sim N(0,1)$，则 $Z^2$ 服从自由度为 $1$ 的卡方分布，记作 $\chi^2(1)$。因此，$\frac{X_3^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$。 这一结论是后续构造 $t$ 统计量或 $F$ 统计量的基础。在分母中出现的 $X_3^2$ 经过除以 $\sigma^2$ 后，其分布转化为标准卡方分布，便于与分子中的正态分布或卡方分布组合，从而得到已知的抽样分布。

已知统计量 $S = \frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2} |X_3|}$，其中 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立且均服从标准正态分布 $N(0,1)$。 首先处理分子：$X_1 - X_2$ 是独立正态变量的线性组合，其分布为 $N(0, 1^2+(-1)^2) = N(0,2)$。因此 $\frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$。 接着处理分母：$|X_3|$ 是 $X_3$ 的绝对值，而 $X_3^2 \sim \chi^2(1)$。注意到 $\sqrt{X_3^2} = |X_3|$，所以分母可写为 $\sqrt{2} \cdot |X_3| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{X_3^2}$。 将 $S$ 变形为： $$ S = \frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2} |X_3|} = \frac{\frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}}}{\sqrt{X_3^2}}. $$ 令 $U = \frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$，$V = X_3^2 \sim \chi^2(1)$，则 $S = \frac{U}{\sqrt{V}}$。 进一步标准化：分子 $U$ 为标准正态，分母 $\sqrt{V}$ 是自由度为1的卡方分布开根号。因此 $S$ 可视为 $t$ 分布的形式，但注意 $t$ 分布定义为 $T = \frac{Z}{\sqrt{Y/n}}$，其中 $Z \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(n)$。这里分母是 $\sqrt{V}$ 而非 $\sqrt{V/1}$，所以 $S = \frac{U}{\sqrt{V}} = \frac{U}{\sqrt{V/1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} = \frac{U}{\sqrt{V/1}}$，即 $S$ 服从自由度为1的 $t$ 分布。 因此，$S$ 的标准形式为 $S = \frac{U}{\sqrt{V}}$，其中 $U \sim N(0,1)$，$V \sim \chi^2(1)$，且 $U$ 与 $V$ 独立，故 $S \sim t(1)$。

由前几步已知，构造的统计量为 $S = \frac{X_1}{\sqrt{X_2^2}}$，其中 $X_1 \sim N(0,1)$ 且 $X_2^2 \sim \chi^2(1)$，且 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立。 根据t分布的定义：若 $Z \sim N(0,1)$，$V \sim \chi^2(\nu)$，且 $Z$ 与 $V$ 独立，则随机变量 $T = \frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}$ 服从自由度为 $\nu$ 的t分布，记为 $T \sim t(\nu)$。 在本问题中，令 $Z = X_1$，$V = X_2^2$，自由度 $\nu = 1$。由于 $X_1$ 与 $X_2$ 独立，故 $Z$ 与 $V$ 也独立。于是 $$ S = \frac{X_1}{\sqrt{X_2^2}} = \frac{Z}{\sqrt{V}} = \frac{Z}{\sqrt{V/1}} = \frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}. $$ 这正是自由度为1的t分布的定义形式。因此 $S \sim t(1)$。 注意：自由度为1的t分布即为柯西分布，其均值不存在，方差无穷大。但根据定义，它仍然属于t分布族。 最终答案：$S \sim t(1)$。