2014年考研数学三第11题
📝 题目
设 $\displaystyle\int_{0}^{a} x \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{1}{4}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**: $\displaystyle\frac{1}{2}$ ．
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**解析**:
由 $\displaystyle\int_{0}^{a} x \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{1}{4} \displaystyle\int_{0}^{2 a} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\left.\displaystyle\frac{1}{4}(x-1) \mathrm{e}^{x}\right|_{0} ^{2 a}=\displaystyle\frac{1}{4}\left[(2 a-1) \mathrm{e}^{2 a}+1\right]=\displaystyle\frac{1}{4}$ ，得 $a=\displaystyle\frac{1}{2}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算定积分
我们需要计算定积分 $\int_0^a x e^{2x} \, dx$。该积分是幂函数与指数函数的乘积形式，适合使用分部积分法。设 $u = x$，$dv = e^{2x} \, dx$，则 $du = dx$，$v = \frac{1}{2} e^{2x}$。根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，有：
$$
\int_0^a x e^{2x} \, dx = \left. \frac{1}{2} x e^{2x} \right|_0^a - \int_0^a \frac{1}{2} e^{2x} \, dx.
$$
计算第一项：$\left. \frac{1}{2} x e^{2x} \right|_0^a = \frac{1}{2} a e^{2a} - 0 = \frac{1}{2} a e^{2a}$。
计算第二项：$\int_0^a \frac{1}{2} e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \big|_0^a = \frac{1}{4} (e^{2a} - 1)$。
因此，原积分等于：
$$
\frac{1}{2} a e^{2a} - \frac{1}{4} (e^{2a} - 1) = \frac{1}{4} (2a e^{2a} - e^{2a} + 1) = \frac{1}{4} [(2a - 1) e^{2a} + 1].
$$
所以，定积分的结果为 $\frac{1}{4}[(2a-1)e^{2a}+1]$。
公式：\int_0^a x e^{2x} \, dx = \frac{1}{4}[(2a-1)e^{2a}+1]
提示：分部积分时，选择 $u=x$ 可使 $du$ 简化，$dv=e^{2x}dx$ 易积分。
步骤 2/4
目标：建立方程
由第一步计算得到的积分结果：
$$
\int_0^a x e^{2x} \, dx = \frac{1}{4}\left[(2a-1)e^{2a}+1\right]
$$
根据题目条件，该积分值等于 $\frac{1}{4}$，因此建立方程：
$$
\frac{1}{4}\left[(2a-1)e^{2a}+1\right] = \frac{1}{4}
$$
两边同时乘以 $4$，消去分母，得：
$$
(2a-1)e^{2a}+1 = 1
$$
再将等式两边同时减去 $1$，化简得到：
$$
(2a-1)e^{2a} = 0
$$
由于指数函数 $e^{2a} > 0$ 恒成立（对任意实数 $a$），因此方程等价于：
$$
2a-1 = 0
$$
解得 $a = \frac{1}{2}$。至此，我们通过建立并求解方程得到了参数 $a$ 的值。
公式：$$\frac{1}{4}\left[(2a-1)e^{2a}+1\right] = \frac{1}{4}$$
提示：注意指数函数恒正，可直接约去，简化方程。
步骤 3/4
目标：化简方程
上一步我们得到了方程 $\frac{(2a-1)e^{2a}+1}{4}=0$。为了消去分母，我们在方程两边同时乘以 $4$，得到：
$$
(2a-1)e^{2a}+1 = 0 \times 4 = 0
$$
即
$$
(2a-1)e^{2a}+1 = 0
$$
接下来，将常数项 $1$ 移到等号右边：
$$
(2a-1)e^{2a} = -1
$$
但注意，原步骤目标中给出的化简结果是 $(2a-1)e^{2a}=0$，这里需要重新检查上一步的方程。实际上，上一步正确的方程应为 $\frac{(2a-1)e^{2a}+1}{4}=1$（因为原题中方程右边为 $1$，而不是 $0$）。因此，两边乘以 $4$ 得：
$$
(2a-1)e^{2a}+1 = 4
$$
移项得：
$$
(2a-1)e^{2a} = 3
$$
但根据题目提供的步骤概要，最终化简为 $(2a-1)e^{2a}=0$，说明上一步方程右边应为 $0$。因此，我们按照题目给定的步骤概要来执行：两边乘以 $4$ 后得到 $(2a-1)e^{2a}+1=1$，即 $(2a-1)e^{2a}=0$。
所以，化简后的方程为：
$$
(2a-1)e^{2a}=0
$$
公式：$$(2a-1)e^{2a}=0$$
提示：注意方程两边同时乘以非零常数时，等式仍然成立。
步骤 4/4
目标：求解参数a
本步骤的目标是根据前一步得到的方程 $(2a-1)e^{2a}=0$ 求解参数 $a$。
首先分析方程的结构：左边是两个因式的乘积，即 $(2a-1)$ 与 $e^{2a}$ 相乘等于零。根据零乘积性质，若两个数的乘积为零，则至少其中一个因式为零。因此，原方程等价于以下两个子方程：
$$2a-1=0 \quad \text{或} \quad e^{2a}=0.$$
接下来分别讨论这两个子方程。
对于 $e^{2a}=0$：指数函数 $e^{x}$ 的值域为 $(0, +\infty)$，即对于任意实数 $x$，$e^{x}>0$ 恒成立。因此 $e^{2a}=0$ 无实数解。
对于 $2a-1=0$：这是一个一元一次方程，移项得 $2a=1$，两边同时除以 $2$，解得 $a=\frac{1}{2}$。
因此，原方程的唯一解为 $a=\frac{1}{2}$。
**验证**：将 $a=\frac{1}{2}$ 代入原方程 $(2a-1)e^{2a}=0$，计算得 $(2\cdot\frac{1}{2}-1)e^{2\cdot\frac{1}{2}}=(1-1)e^{1}=0\cdot e=0$，等式成立。故解正确。
最终答案：$a=\frac{1}{2}$。
公式：2a-1=0 \Rightarrow a=\frac{1}{2}
提示：注意指数函数恒大于零，可直接忽略e^{2a}=0的情况。
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