2014年考研数学三第12题

原积分为 $\int_0^1 \int_y^1 \left( \frac{e^{x^2}}{x} + e^{y^2} \right) dx \, dy$。根据积分的线性性质，可以将被积函数拆分为两个部分的和，从而将原积分拆分为两个积分之和： $$\int_0^1 \int_y^1 \left( \frac{e^{x^2}}{x} + e^{y^2} \right) dx \, dy = \int_0^1 \int_y^1 \frac{e^{x^2}}{x} \, dx \, dy + \int_0^1 \int_y^1 e^{y^2} \, dx \, dy.$$ 记第一个积分为 $I_1 = \int_0^1 dy \int_y^1 \frac{e^{x^2}}{x} \, dx$，第二个积分为 $I_2 = \int_0^1 dy \int_y^1 e^{y^2} \, dx$。这样拆分后，每个积分的内层积分变量不同，便于后续分别处理。

原积分 $I_1 = \int_0^1 dy \int_y^1 \frac{e^{x^2}}{x} dx$ 的积分区域由不等式 $0 \le y \le 1$ 和 $y \le x \le 1$ 描述。在 $xy$ 平面上，$y$ 从 $0$ 到 $1$，对于每个固定的 $y$，$x$ 从直线 $x=y$ 到 $x=1$。因此区域是由 $x$ 轴、直线 $x=1$ 和直线 $y=x$ 围成的三角形（注意 $y$ 轴未包含，因为 $x$ 从 $y$ 开始）。交换积分次序时，先固定 $x$，$x$ 的范围是从 $0$ 到 $1$（因为当 $y=0$ 时 $x$ 最小为 $0$，当 $y=1$ 时 $x$ 最大为 $1$）。对于每个固定的 $x$，$y$ 从 $0$ 到 $x$（因为 $y \le x$ 且 $y \ge 0$）。于是交换次序后得到： $$I_1 = \int_0^1 dx \int_0^x \frac{e^{x^2}}{x} dy.$$ 内层积分对 $y$ 进行，被积函数 $\frac{e^{x^2}}{x}$ 与 $y$ 无关，因此内层积分结果为 $\frac{e^{x^2}}{x} \cdot (x-0) = e^{x^2}$。从而 $$I_1 = \int_0^1 e^{x^2} dx.$$ 这样，通过交换积分次序，我们将原二重积分化为了一个关于 $x$ 的一维积分。

第二个积分 $I_2$ 的积分区域为 $D_2 = \{ (x,y) \mid 0 \le y \le 1, \, y \le x \le 1 \}$，被积函数为 $e^{y^2}$。先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分。\n\n内层积分：对于固定的 $y$，$x$ 从 $y$ 到 $1$，因此 $$\int_{y}^{1} dx = 1 - y.$$ 于是 $$I_2 = \int_{0}^{1} e^{y^2} (1 - y) \, dy.$$\n\n下面直接计算这个定积分。将积分拆分为两项：$$I_2 = \int_{0}^{1} e^{y^2} \, dy - \int_{0}^{1} y e^{y^2} \, dy.$$\n\n第一项 $\int_{0}^{1} e^{y^2} dy$ 无法用初等函数表示，但第二项可以通过换元法计算。令 $u = y^2$，则 $du = 2y \, dy$，即 $y \, dy = \frac{1}{2} du$。当 $y=0$ 时 $u=0$，当 $y=1$ 时 $u=1$。于是 $$\int_{0}^{1} y e^{y^2} \, dy = \int_{0}^{1} e^{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} (e - 1).$$\n\n因此 $$I_2 = \int_{0}^{1} e^{y^2} dy - \frac{1}{2}(e - 1).$$\n\n注意：本题最终结果需要与另一部分积分合并，此处保留 $\int_{0}^{1} e^{y^2} dy$ 形式即可。

在前三步中，我们已将原二重积分转化为两个定积分之差： $$I = I_1 - I_2 = \int_0^1 e^{x^2} \, dx - \int_0^1 e^{y^2} (1-y) \, dy.$$ 由于积分变量是哑变量，可将第一个积分中的 $x$ 改写为 $y$，得到： $$I = \int_0^1 e^{y^2} \, dy - \int_0^1 e^{y^2} (1-y) \, dy = \int_0^1 e^{y^2} \left[1 - (1-y)\right] \, dy = \int_0^1 e^{y^2} \cdot y \, dy.$$ 现在计算积分 $\int_0^1 y e^{y^2} \, dy$。令 $u = y^2$，则 $du = 2y \, dy$，即 $y \, dy = \frac{1}{2} du$。当 $y=0$ 时 $u=0$，当 $y=1$ 时 $u=1$。代入得： $$\int_0^1 y e^{y^2} \, dy = \int_0^1 e^u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du = \frac{1}{2} \left( e^u \Big|_0^1 \right) = \frac{1}{2} (e - 1).$$ 因此，原二重积分的值为 $\frac{1}{2}(e-1)$。 **验证**：由于被积函数 $e^{x^2}$ 在 $[0,1] \times [0,1]$ 上连续，积分结果应为有限实数。$e \approx 2.71828$，故 $\frac{1}{2}(e-1) \approx 0.85914$，数值合理。此外，可反向求导验证：$\frac{d}{du}\left(\frac{1}{2}e^u\right) = \frac{1}{2}e^u$，与积分结果一致。