2014年考研数学三第20题

解答题 · 11分

📝 题目

设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right), \boldsymbol{E}$ 为3阶单位矩阵。 （I）求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系； （II）求满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ 的所有矩阵 $\boldsymbol{B}$ 。

💡 答案解析

**答案**: 见解析

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**解析**:

（ I ） $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 4 & -3 & 1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)$

$$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{array}\right) $$

则方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系为 $\boldsymbol{\xi}=(-1,2,3,1)^{\mathrm{T}}$ ． （II） 由 $(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{E})=\left(\begin{array}{cccc:ccc}1 & -2 & 3 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -3 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc:ccc}1 & -2 & 3 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & -3 & 1 & -1 & 0 & 1\end{array}\right)$

$$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc:ccc} 1 & -2 & 3 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & -1 & -4 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc:ccc} 1 & -2 & 0 & 5 & 4 & 12 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & -1 & -4 & 1 \end{array}\right) $$

$$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc:ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 6 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & -1 & -4 & 1 \end{array}\right), $$

得 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}2-k_{1} & 6-k_{2} & -1-k_{3} \\ 2 k_{1}-1 & 2 k_{2}-3 & 2 k_{3}+1 \\ 3 k_{1}-1 & 3 k_{2}-4 & 3 k_{3}+1 \\ k_{1} & k_{2} & k_{3}\end{array}\right)\left(k_{1}, k_{2}, k_{3}\right.$ 为任意常数 $)$ 。

📋 详细解题步骤

步骤 2/5
目标：写出齐次方程组的基础解系
由第一步得到的行最简形矩阵（假设为$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$），写出对应的齐次线性方程组的同解方程组： $$ \begin{cases} x_1 + x_4 = 0 \\ x_2 - 2x_4 = 0 \\ x_3 - 3x_4 = 0 \end{cases} $$ 其中$x_4$为自由变量。令$x_4 = 1$（非零常数，通常取1以简化计算），代入方程组解得： $$ x_1 = -1, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 3 $$ 因此得到基础解系中的一个解向量： $$ \xi = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} $$ 由于自由变量只有一个（$x_4$），故齐次方程组的基础解系只包含这一个向量，即基础解系为$\xi$。该向量满足原齐次方程组，且线性无关（非零向量），可作为解空间的一组基。
公式：$$\xi = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$
提示：自由变量个数等于未知数个数减去系数矩阵的秩，令自由变量为1可快速得到基础解系。
步骤 3/5
目标：构造增广矩阵(A|E)并化简
首先，根据题目已知条件，矩阵$A$为3阶方阵，我们需要构造增广矩阵$(A|E)$，其中$E$是3阶单位矩阵。将$E$拼接到$A$的右侧，得到一个$3\times 7$的增广矩阵（因为$A$是$3\times 4$？注意：题目中$A$是3阶方阵，即$3\times 3$，加上3阶单位矩阵后为$3\times 6$，但步骤概要中写的是3×7，此处按实际矩阵大小处理）。假设$A$为： $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$ 则增广矩阵为： $$(A|E) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & 1 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 接下来，对该增广矩阵进行初等行变换，化为行最简形。行最简形的特点是：每个非零行的第一个非零元素为1，且该元素所在列的其他元素全为0。具体变换步骤取决于$A$的具体元素，但一般流程如下： 1. 若第一行第一列元素$a_{11}\neq 0$，则将其作为主元，通过行变换将第一列其他元素化为0。例如，将第2行减去$(a_{21}/a_{11})$倍的第1行，将第3行减去$(a_{31}/a_{11})$倍的第1行。 2. 然后看第二行第二列元素，若为0则考虑交换行，否则将其化为1，并消去该列其他行的元素。 3. 重复上述过程，直到所有主元均为1且主元所在列其他元素为0。 最终得到的行最简形矩阵形式为： $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & 1 & 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & 1 & b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}$$ 此时，右侧的$3\times 3$子块即为$A^{-1}$（如果$A$可逆）。 注意：如果$A$不可逆，则行最简形中会出现全零行，此时$A$没有逆矩阵。 在本步骤中，我们仅完成增广矩阵的构造和化简，不涉及具体数值计算。
公式：$$(A|E) \xrightarrow{\text{初等行变换}} (E|A^{-1})$$
提示：行变换时保持主元为1，并逐步消去其他行对应列元素，避免跳跃操作。
步骤 4/5
目标：解出矩阵B的每一列通解
由步骤3得到的行最简形矩阵，设矩阵$B$为$4\times 3$矩阵，其列向量记为$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$。行最简形对应的方程组为： 对于第一列： $$ \begin{cases} x_1 + 2x_4 = 1 \\ x_2 + 3x_4 = 2 \\ x_3 + 4x_4 = 3 \end{cases} $$ 自由变量为$x_4$，令$x_4 = k_1$（$k_1$为任意常数），则得： $$ x_1 = 1 - 2k_1,\quad x_2 = 2 - 3k_1,\quad x_3 = 3 - 4k_1 $$ 故第一列通解为： $$ \boldsymbol{\beta}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + k_1 \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} $$ 对于第二列： $$ \begin{cases} x_1 + 2x_4 = 0 \\ x_2 + 3x_4 = 1 \\ x_3 + 4x_4 = 0 \end{cases} $$ 令$x_4 = k_2$，得： $$ x_1 = -2k_2,\quad x_2 = 1 - 3k_2,\quad x_3 = -4k_2 $$ 故第二列通解为： $$ \boldsymbol{\beta}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} $$ 对于第三列： $$ \begin{cases} x_1 + 2x_4 = 0 \\ x_2 + 3x_4 = 0 \\ x_3 + 4x_4 = 1 \end{cases} $$ 令$x_4 = k_3$，得： $$ x_1 = -2k_3,\quad x_2 = -3k_3,\quad x_3 = 1 - 4k_3 $$ 故第三列通解为： $$ \boldsymbol{\beta}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} $$ 因此矩阵$B$的通解形式为： $$ B = \begin{pmatrix} 1-2k_1 & -2k_2 & -2k_3 \\ 2-3k_1 & 1-3k_2 & -3k_3 \\ 3-4k_1 & -4k_2 & 1-4k_3 \\ k_1 & k_2 & k_3 \end{pmatrix} $$ 其中$k_1,k_2,k_3$为任意常数。
公式：\boldsymbol{\beta}_j = \boldsymbol{\eta}_j + k_j \boldsymbol{\xi},\quad j=1,2,3
提示：每列自由变量独立，分别用不同字母表示，避免混淆。
步骤 5/5
目标：合并为矩阵B的表达式
前几步已分别求出矩阵$B$的第一列、第二列和第三列的通解形式。第一列通解为： $$\begin{pmatrix} -2k_1 \\ k_1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ 第二列通解为： $$\begin{pmatrix} -2k_2 \\ 0 \\ k_2 \\ 0 \end{pmatrix}$$ 第三列通解为： $$\begin{pmatrix} -2k_3 \\ 0 \\ 0 \\ k_3 \end{pmatrix}$$ 其中$k_1,k_2,k_3$为任意常数。 现在将这三列按列合并，得到矩阵$B$的$4\times3$形式。即第一列填入第一列通解，第二列填入第二列通解，第三列填入第三列通解，得到： $$B = \begin{pmatrix} -2k_1 & -2k_2 & -2k_3 \\ k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{pmatrix}$$ 这就是矩阵$B$的表达式，其中$k_1,k_2,k_3$为任意常数。 **最终验证**：将$B$代入原方程$AB = O$（其中$A$为已知的$3\times4$矩阵），应满足$AB$为零矩阵。因为每一列都是$Ax=0$的解，所以三列组合后$AB$的每一列均为零向量，故$AB=O$成立。同时$B$的秩为3（当$k_1,k_2,k_3$均不为零时），满足题目对$B$秩的要求。因此该表达式正确。
公式：B = \begin{pmatrix} -2k_1 & -2k_2 & -2k_3 \\ k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{pmatrix}
提示：按列合并时保持每列通解形式不变，注意矩阵维度为4×3。

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