2014年考研数学三第21题
📝 题目
证明 $n$ 阶矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n\end{array}\right)$ 相似。
💡 答案解析
**题目** 证明 $n$ 阶矩阵 \[ A = $\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \] 与 \[ B = $\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n \end{pmatrix} \] 相似。
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**证明思路** 判断两个矩阵是否相似，常用方法是看它们的特征值和若尔当标准形是否一致。但此处 $B$ 并非标准若尔当形，注意 $A$ 是秩1矩阵，可具体分析其特征值。
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**步骤 1：求矩阵 $A$ 的特征值** $A$ 是全部元素为 1 的 $n$ 阶矩阵。 显然 $\mathrm{rank}(A) = 1$，故 $0$ 是特征值，且几何重数（零空间维数）为 $n-1$。
矩阵的迹为 $n$，所以最后一个特征值为 $n$（因为所有特征值之和为迹）。 因此 $A$ 的特征值为： \[ \lambda_1 = n,\quad \lambda_2 = $\lambda_3 = $\cdots = $\lambda_n = 0. \]
由于 $A$ 是对称矩阵，一定可对角化，其代数重数与几何重数一致： - 特征值 $0$ 的几何重数 = $n-1$ （等于代数重数） - 特征值 $n$ 的几何重数 = $1$
所以 $A$ 相似于对角矩阵： \[ \mathrm{diag}(n, 0, 0, \dots, 0). \]
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**步骤 2：求矩阵 $B$ 的特征值** \[ B = $\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n \end{pmatrix} \] 观察可知，$B$ 除了最后一列以外全是零。我们计算其特征多项式。
矩阵 $B$ 的最后一列为 $(1,2,\dots,n)^T$，其余列为 0。由特征多项式定义： \[ \det(B - \lambda I) = $ \begin{vmatrix} -\lambda & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & -\lambda & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -\lambda & n \end{vmatrix}. \] 按最后一列展开，可得： \[ \det(B - \lambda I) = (-1)^{n+1} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -\lambda & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda \end{vmatrix}_{(n-1)\times (n-1)} + \cdots \] 但更简单的方法是：由于前 $n-1$ 列与最后一列几乎线性无关，也可直接利用上三角块特点。
观察行列式： 对于 $i = 1,\dots,n-1$，第 $i$ 行只有 $-\lambda$ 在第 $i$ 列和最后一列非零。可以按第一列展开，或直接考虑公式： 依次将第 2 列加到第 1 列？更简单： 矩阵 $B - \lambda I$ 前 $n-1$ 列只有对角线上是 $-\lambda$，最后一列全是 $1,2,\dots,n$ 减去第 $i$ 行第 $i$ 列贡献（最后一列对应行有值，但第 $i,i$ 位置是 $-\lambda$）。
直接用行列式定义： 对前 $n-1$ 列，每列选择对角元 $-\lambda$ 得到 $(-\lambda)^{n-1}$，再乘以最后一列某元素，但因为若对角元全部取到，最后一列只能取第 $n$ 行元素? 实际上按展开定理： 依次将第 $i$ 列乘以适当倍数消去最后一列的元素，或看特征方程：
因为 $B$ 的秩也为 1（实际上所有列都是最后一列的倍数？不是的，前 $n-1$ 列为零列，最后一列为非零，所以 $\mathrm{rank}(B)=1$）。 因此 $0$ 是 $B$ 的特征值且几何重数至少 $n-1$。 同样，迹 $\mathrm{tr}(B) = 0+0+\cdots+0 = 0$，但注意 $B$ 的对角线全为 0，故迹为 0。因此所有特征值之和为 0，已知 0 至少有 $n-1$ 重，所以最后一个特征值也是 0。 从而 $B$ 的特征值全部为 0。
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**步骤 3：判断相似性** $A$ 的特征值为 $n, 0,0,\dots,0$，且可对角化，故相似于 $\mathrm{diag}(n,0,\dots,0)$。 $B$ 的特征值全部为 0，且秩为 1。对于零特征值，其若尔当块个数等于几何重数 = $n - \mathrm{rank}(B) = n-1$。 因为 $n$ 阶零特征值矩阵且秩为 1，它的若尔当标准形为：一个 2 阶若尔当块和 $n-2$ 个 1 阶零块，即： \[ J = $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}. \]
但是我们要比较的是 $A$ 和 $B$，$A$ 有一个非零特征值 $n$，而 $B$ 的特征值全零。显然特征值集合不同，所以它们不可能相似，除非 $n=0$（显然不成立）。所以题目的结论是错误的？我们再仔细检查 $B$ 的特征值：计算一下简单情况 $n=2$。
对于 $n=2$： \[ B = $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}, \] 特征多项式： \[ \det(B-\lambda I) = $\begin{vmatrix}-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda\end{vmatrix} = (-\lambda)(2-\lambda) = $\lambda(\lambda-2). \] 特征值为 $0$ 和 $2$。哦！我之前的推理有误。$B$ 的秩虽然是 1，但它的迹是 $0+2=2$，而不是 0，因为对角线有元素？等一下，$n=2$ 时 $B$ 的对角线元素是 $(0,2)$，所以迹为 2。一般地，$B$ 的对角线元素全为 0 吗？矩阵 $B$ 定义为最后一列是 $1,2,\dots,n$，但**对角线**：位置 (1,1) 为 0，(2,2) 为 0，……，(n-1,n-1) 为 0，而 (n,n) 对应的是最后一列第 n 行，但 $B$ 的第 n 行第 n 列元素即是 $n$（因为最后一列的第 n 个元素是 n）。所以对角线是 $(0,0,\dots,0,n)$。迹为 $n$，而不是 0。我先前错误认为对角线全零。
因此修正特征值分析：
对于一般的 $n$，$B$ 明显是**上三角矩阵**？不是严格上三角，因为最后一列有非零元，且对角元为 $0,0,\dots,0,n$。实际上 $B$ 形如： \[ B = $\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & n \end{pmatrix}. \] 这虽不是上三角，但可以计算特征多项式： $B$ 的最后一列不是只有对角线下方的元素，而是整列。直接计算特征多项式： \[ \det(B - \lambda I) = \begin{vmatrix} -\lambda & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & -\lambda & \cdots & 0 & 2 \\