2015年考研数学三第17题

首先，根据题意，设总收益函数为 $R(Q)$，总成本函数为 $C(Q)$，则利润函数 $\pi(Q)$ 定义为总收益减去总成本： $$\pi(Q) = R(Q) - C(Q).$$ 题目中给出需求函数 $P = a - bQ$（其中 $a, b > 0$），因此总收益为 $R(Q) = P \cdot Q = (a - bQ)Q = aQ - bQ^2$。总成本函数通常为 $C(Q) = cQ + d$（线性成本）或更一般形式，此处根据题目信息设为 $C(Q) = cQ + F$，其中 $c$ 为边际成本，$F$ 为固定成本。于是利润函数为： $$\pi(Q) = (aQ - bQ^2) - (cQ + F) = (a - c)Q - bQ^2 - F.$$ 利润最大化的必要条件是利润函数对产量 $Q$ 的一阶导数为零，即边际利润等于零： $$\frac{d\pi}{dQ} = \frac{dR}{dQ} - \frac{dC}{dQ} = MR - MC = 0,$$ 从而得到利润最大化条件： $$MR = MC.$$ 计算边际收益 $MR$：对 $R(Q) = aQ - bQ^2$ 求导得 $MR = a - 2bQ$。计算边际成本 $MC$：对 $C(Q) = cQ + F$ 求导得 $MC = c$。令二者相等： $$a - 2bQ = c,$$ 解得利润最大化产量： $$Q^* = \frac{a - c}{2b}.$$ 此即为利润最大化的一阶条件。注意二阶条件 $\frac{d^2\pi}{dQ^2} = -2b < 0$ 确保该点为极大值点。

边际收益$MR$定义为总收益$R = P \cdot Q$对产量$Q$的导数，即$MR = \frac{dR}{dQ} = \frac{d(PQ)}{dQ}$。根据乘积法则，有： $$MR = P + Q \cdot \frac{dP}{dQ}$$ 需求价格弹性$\eta$定义为需求量变化率与价格变化率之比，通常取正值，即： $$\eta = -\frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q}$$ 由上式解出$\frac{dP}{dQ}$： $$\frac{dP}{dQ} = -\frac{P}{\eta Q}$$ 将$\frac{dP}{dQ}$代入$MR$表达式： $$MR = P + Q \cdot \left(-\frac{P}{\eta Q}\right) = P - \frac{P}{\eta} = P\left(1 - \frac{1}{\eta}\right)$$ 因此，边际收益$MR$可以用价格$P$和需求弹性$\eta$表示为$MR = P\left(1 - \frac{1}{\eta}\right)$。

在垄断厂商的利润最大化问题中，已知边际收益$MR$与边际成本$MC$相等是利润最大化的必要条件，即$MR = MC$。同时，边际收益$MR$与需求价格弹性$\eta$之间存在关系：$MR = P\left(1 - \frac{1}{|\eta|}\right)$，其中$P$为商品价格，$\eta$为需求价格弹性（通常取绝对值，故$|\eta| > 0$）。为简化书写，通常记$\eta = |\eta|$，则$MR = P\left(1 - \frac{1}{\eta}\right)$。 将$MR = MC$代入上式，得到： $$P\left(1 - \frac{1}{\eta}\right) = MC$$ 为了解出价格$P$，将上式两边同时除以$\left(1 - \frac{1}{\eta}\right)$（注意$\eta > 1$时该因子为正，保证经济意义），得到： $$P = \frac{MC}{1 - \frac{1}{\eta}}$$ 此即为垄断厂商的定价公式，也称为“成本加成定价”或“勒纳指数”的变形。它表明价格等于边际成本乘以一个加成因子$\frac{1}{1 - 1/\eta}$，该因子随需求弹性增大而减小。当需求弹性趋于无穷大时，价格趋近于边际成本，即完全竞争情形；当需求弹性较小时，价格显著高于边际成本，厂商拥有较强的市场势力。 至此，我们完成了从$MR = MC$到定价模型$P = \frac{MC}{1 - 1/\eta}$的推导。

边际成本（Marginal Cost, MC）表示每增加一单位产量所引起总成本的增加量，在数学上定义为总成本函数对产量$Q$的一阶导数。已知总成本函数为$C(Q)=1600+Q^2$，其中$1600$为固定成本（不随产量变化），$Q^2$为可变成本部分。 对$C(Q)$关于$Q$求导： $$MC = \frac{dC}{dQ} = \frac{d}{dQ}(1600 + Q^2)$$ 根据导数基本公式：常数的导数为0，幂函数$Q^n$的导数为$nQ^{n-1}$，因此： $$\frac{d}{dQ}(1600)=0, \quad \frac{d}{dQ}(Q^2)=2Q$$ 所以： $$MC = 0 + 2Q = 2Q$$ 因此，边际成本函数为$MC(Q)=2Q$。这意味着当产量为$Q$时，每增加一单位产量，总成本增加$2Q$个单位。例如，当$Q=10$时，$MC=20$；当$Q=20$时，$MC=40$。边际成本随产量线性递增，反映了该成本函数下规模报酬递减的特征。

本步骤的目标是将已知的边际成本函数 $MC=2Q$ 和需求价格弹性 $\eta = \frac{P}{40-P}$ 代入最优定价公式 $P = \frac{MC}{1-1/\eta}$，并利用需求函数 $Q=40-P$ 消去产量 $Q$，从而解出价格 $P$。 首先，写出最优定价公式： $$P = \frac{MC}{1 - \frac{1}{\eta}}$$ 将 $MC=2Q$ 和 $\eta = \frac{P}{40-P}$ 代入上式，得到： $$P = \frac{2Q}{1 - \frac{1}{\frac{P}{40-P}}} = \frac{2Q}{1 - \frac{40-P}{P}}$$ 化简分母： $$1 - \frac{40-P}{P} = \frac{P - (40-P)}{P} = \frac{2P - 40}{P}$$ 因此，定价公式变为： $$P = \frac{2Q}{\frac{2P-40}{P}} = 2Q \cdot \frac{P}{2P-40}$$ 两边同时乘以 $2P-40$ 得： $$P(2P-40) = 2QP$$ 由于 $P>0$，可两边同时除以 $P$，得到： $$2P-40 = 2Q$$ 即： $$P - 20 = Q$$ 现在利用需求函数 $Q = 40 - P$ 消去 $Q$，代入上式： $$P - 20 = 40 - P$$ 移项合并： $$P + P = 40 + 20$$ $$2P = 60$$ 解得： $$P = 30$$ 将 $P=30$ 代入需求函数 $Q=40-P$，得 $Q=10$。验证边际成本：$MC=2Q=20$；需求价格弹性：$\eta = \frac{30}{40-30}=3$；代入定价公式：$P = \frac{20}{1-1/3} = \frac{20}{2/3}=30$，结果一致。因此，最优价格为 $P=30$。