设 $\left\{x_{n}\right\}$ 是数列。下列命题中不正确的是（）
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其 2 阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如右图所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x, x^{2}+y^{2} \leqslant 2 y\right\}$ ，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，
则 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
下列级数中发散的是
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^{2}\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{c}1 \\ d \\ d^{2}\end{array}\right)$ ．若集合 $\boldsymbol{\Omega}=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解的充分必要条件为
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，其中 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\right)$ 。若 $\boldsymbol{Q}=\left(\boldsymbol{e}_{1},-\boldsymbol{e}_{3}, \boldsymbol{e}_{2}\right)$ ，则 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为
若 $A, B$ 为任意两个随机事件，则（ ）
设总体 $X \sim B(m, \theta), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自该总体的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，则 $E\left[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]=(\quad)$
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (\cos x)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $f(x)$ 连续，$\varphi(x)=\displaystyle\int_{0}^{x^{2}} x f(t) \mathrm{d} t$ ．若 $\varphi(1)=1, \varphi^{\prime}(1)=5$ ，则 $f(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
若函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$。
设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ 的解，且在 $x=0$ 处 $y(x)$ 取得极值 3 ，则 $y(x) =$ $\_\_\_\_$ ．
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $2,-2,1, \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵，则行列式 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$。
设函数 $f(x)=x+a \ln (1+x)+b x \sin x, g(x)=k x^{3}$ 。若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \rightarrow 0$ 时是等价无穷小，求 $a, b, k$ 的值．
计算二重积分 $\iint_{D} x(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2, y \geqslant x^{2}\right\}$ ．
为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型。设 $Q$ 为该商品的需求量，$p$ 为价格，$M C$ 为边际成本，$\eta$ 为需求弹性 $(\eta\gt 0)$ 。 （I）证明定价模型为 $p=\displaystyle\frac{M C}{1-\displaystyle\frac{1}{\eta}}$ ； （II）若该商品的成本函数为 $C(Q)=1600+Q^{2}$ ，需求函数为 $Q=40-p$ ，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格。
设函数 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零。若对任意的 $x_{0} \in I$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 处的切线与直线 $x=x_{0}$ 及 $x$ 轴所围成区域的面积恒为 4 ，且 $f(0)=2$ ，求 $f(x)$ 的表达式。
（I）设函数 $u(x), v(x)$ 可导，利用导数定义证明 $[u(x) v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)$ ； （II）设函数 $u_{1}(x), u_{2}(x), \cdots, u_{n}(x)$ 可导，$f(x)=u_{1}(x) u_{2}(x) \cdots u_{n}(x)$ ，写出 $f(x)$ 的求导公式。
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 0 \\ 1 & a & -1 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ ． （I）求 $a$ 的值； （II）若矩阵 $\boldsymbol{X}$ 满足 $\boldsymbol{X}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵，求 $\boldsymbol{X}$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right)$ 相似于矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)$ ． （I）求 $a, b$ 的值； （II）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵。
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}2^{-x} \ln 2, & x\gt 0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}
$$
对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 $Y$ 为观测次数。
（I）求 $Y$ 的概率分布；
（II）求 $E(Y)$ 。
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{1}{1-\theta}, & \theta \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta$ 为未知参数．$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自该总体的简单随机样本．
（I）求 $\theta$ 的矩估计量；
（II）求 $\theta$ 的最大似然估计量．