2015年考研数学三第4题

选项(A)为级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$。首先观察通项 $a_n = \frac{n}{3^n}$，当 $n \to \infty$ 时，$a_n \to 0$，满足级数收敛的必要条件。为判断其敛散性，采用比值判别法（达朗贝尔判别法）：计算极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$。 $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{n+1}{3^{n+1}}}{\frac{n}{3^n}} = \frac{n+1}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n} = \frac{n+1}{3n} = \frac{1}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)$$ 于是 $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{3} < 1$$ 根据比值判别法，当极限小于1时，级数绝对收敛。因此，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$ 收敛。 也可用根值判别法验证：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n}{3^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{3} = \frac{1}{3} < 1$，同样得到收敛结论。故选项(A)对应的级数收敛。

选项(B)为 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$。首先分析通项 $a_n = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的渐近行为。当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，利用等价无穷小：$\ln(1+x) \sim x$（$x \to 0$），因此 $\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n}$。于是通项 $a_n \sim \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n \cdot n^{1/2}} = \frac{1}{n^{3/2}}$。由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ 是 $p$ 级数，$p = \frac{3}{2} > 1$，故该 $p$ 级数收敛。根据比较判别法的极限形式，若 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{3/2}} = 1$（非零常数），则 $\sum a_n$ 与 $\sum 1/n^{3/2}$ 具有相同的敛散性，因此选项(B)的级数收敛。注意：这里使用的是正项级数的比较判别法，因为 $a_n > 0$ 对一切 $n$ 成立。

选项(C)为级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n + 1}{\ln n}$。首先将其拆分为两个级数的和： $$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n + 1}{\ln n} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln n} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}.$$ 先分析第一个级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln n}$。这是交错级数，通项 $a_n = \frac{1}{\ln n}$。由于 $\ln n$ 随 $n$ 增大而单调递增，故 $a_n$ 单调递减趋于 $0$。由莱布尼茨判别法，该交错级数收敛。 再分析第二个级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}$。注意到当 $n \geq 2$ 时，$\ln n < n$，因此 $\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$。而调和级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，由比较判别法（正项级数），$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}$ 发散。 由于原级数可表示为收敛级数与发散级数之和，根据级数运算性质，收敛级数与发散级数之和必发散。因此，原级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n + 1}{\ln n}$ 发散。 结论：选项(C)的级数发散。

选项(D)为级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$。我们使用比值判别法（达朗贝尔判别法）判断其敛散性。设通项$a_n = \frac{n!}{n^n}$，计算比值极限： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)n!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot (n+1) = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} = \frac{1}{e}. $$ 由于极限$\frac{1}{e} \approx 0.3679 < 1$，根据比值判别法，级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$收敛。因此选项(D)对应的级数是收敛的。

在前四步中，我们分别分析了四个选项所对应级数的敛散性。 - **选项(A)**：级数为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$。这是交错级数，且通项绝对值$\frac{1}{\sqrt{n}}$单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法可知该级数条件收敛。 - **选项(B)**：级数为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n\sqrt{n}}$。其绝对值级数$\sum \frac{1}{n^{3/2}}$是$p=3/2>1$的$p$级数，收敛，故原级数绝对收敛。 - **选项(C)**：级数为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$。通过比较判别法，其通项绝对值与$\frac{1}{\sqrt{n}}$同阶，而$\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$发散，且该级数不是交错级数（符号规律被分母中的$(-1)^n$破坏），因此该级数发散。 - **选项(D)**：级数为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n\sqrt{n}}$。其绝对值级数通项$\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt{n}} \sim \frac{1}{n}$，而$\sum \frac{1}{n}$发散，但该级数本身是交错级数，且通项绝对值单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法可知其条件收敛。 综合以上分析，只有选项(C)对应的级数是发散的，其余选项均收敛。因此，本题应选择(C)。 **最终答案验证**：选项(C)的级数发散，符合题目要求“发散的是”，故答案正确。