2015年考研数学三第9题

首先，我们分析极限表达式 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2}$。当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to \cos 0 = 1$，因此分子 $\ln(\cos x) \to \ln 1 = 0$。分母 $x^2 \to 0$。所以该极限是 $\frac{0}{0}$ 型未定式，符合洛必达法则或等价无穷小代换的使用条件。

将 $\ln(\cos x)$ 改写为 $\ln[1+(\cos x-1)]$ 的形式。当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，因此 $\cos x-1 \to 0$，即 $u = \cos x-1$ 是无穷小量。利用等价无穷小替换：当 $u \to 0$ 时，$\ln(1+u) \sim u$。于是有： $$ \ln(\cos x) = \ln[1+(\cos x-1)] \sim \cos x-1 \quad (x \to 0). $$ 这样，原极限中的分子 $\ln(\cos x)$ 就可以替换为 $\cos x-1$，从而将原极限转化为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x \sin x}. $$ 注意，替换后分母保持不变，仍为 $x \sin x$。这一步骤的关键在于确认 $\cos x-1$ 确实趋于 $0$，从而满足等价无穷小替换的条件。

将上一步得到的等价无穷小替换结果代入原极限表达式。已知当$x \to 0$时，$\ln(1+\cos x -1) \sim \cos x -1$，因此原极限化为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+\cos x -1)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}. $$ 接下来对极限$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$进行化简。利用三角恒等式$\cos x - 1 = -2\sin^2\frac{x}{2}$，代入得： $$ \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = -2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}. $$ 为了使用重要极限$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$，令$u = \frac{x}{2}$，则$x = 2u$，且当$x \to 0$时$u \to 0$。代入得： $$ -2 \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{(2u)^2} = -2 \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{4u^2} = -\frac{2}{4} \lim_{u \to 0} \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2 = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 = -\frac{1}{2}. $$ 因此，化简后的极限值为$-\frac{1}{2}$。注意，这里直接使用等价无穷小替换$\cos x - 1 \sim -\frac{1}{2}x^2$也可得到相同结果： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2} = -\frac{1}{2}. $$ 两种方法均验证了极限值为$-\frac{1}{2}$。

在上一阶段，我们已经将原极限表达式化简为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2 \cdot \frac{1}{2} x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{\frac{1}{2} x^4}. $$ 现在，我们再次使用等价无穷小替换。当 $x \to 0$ 时，有 $1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^2$，因此 $ \cos x - 1 = -(1 - \cos x) \sim -\frac{1}{2} x^2$。 将这一等价关系代入极限表达式中的分子，得到： $$ \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2} x^2}{\frac{1}{2} x^4}. $$ 注意，这里我们是在极限过程中用等价无穷小替换分子，分母保持不变。化简分子和分母中的系数： $$ \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = -1, $$ 且 $x^2 / x^4 = 1 / x^2$，因此极限变为： $$ \lim_{x \to 0} \left( -1 \cdot \frac{1}{x^2} \right) = -\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}. $$ 由于 $x \to 0$ 时，$1/x^2 \to +\infty$，所以该极限为 $-\infty$。 至此，我们完成了第二次等价无穷小替换，将原极限转化为一个简单的无穷大极限，下一步将根据极限的符号和趋势得出最终结论。

在之前的步骤中，我们已将原极限转化为等价无穷小替换后的形式： $$ \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} $$ 现在进行化简。分子为 $-\frac{x^2}{2}$，分母为 $x^2$，因此： $$ \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{x^2} = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2} $$ 由于 $x \to 0$ 时 $x^2 \neq 0$（在去心邻域内），约分是合法的。因此极限值为 $-\frac{1}{2}$。 **验证**：我们可以通过洛必达法则或泰勒展开验证结果。例如，使用泰勒展开： $$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $$ 则 $$ \ln(1+x) - x = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $$ 除以 $x^2$ 得： $$ \frac{\ln(1+x) - x}{x^2} = -\frac{1}{2} + \frac{x}{3} - \cdots $$ 当 $x \to 0$ 时，高阶项趋于0，极限为 $-\frac{1}{2}$，与我们的结果一致。 因此，最终答案为： $$ \boxed{-\frac{1}{2}} $$