💡 答案解析
**答案**: $-\displaystyle\frac{1}{3} \mathrm{~d} x-\displaystyle\frac{2}{3} \mathrm{~d} y$ ．
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**解析**:
方法一 $x=0, y=0$ 代入 $\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 得 $z=0$ ．
$\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 分别对 $x, y$ 求偏导得
$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{e}^{x+2 y+3 z} \cdot\left(1+3 \frac{\partial z}{\partial x}\right)+y z+x y \frac{\partial z}{\partial x}=0 \\
\mathrm{e}^{x+2 y+3 z} \cdot\left(2+3 \frac{\partial z}{\partial y}\right)+x z+x y \frac{\partial z}{\partial y}=0
\end{array}\right.
$$
将 $x=0, y=0, z=0$ 代人上式得 $\left.\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,0)}=-\displaystyle\frac{1}{3},\left.\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(0,0)}=-\displaystyle\frac{2}{3}$ ，
故 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=-\displaystyle\frac{1}{3} \mathrm{~d} x-\displaystyle\frac{2}{3} \mathrm{~d} y$ ．
方法二 将 $x=0, y=0$ 代入方程得 $z=0$ ，
$\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 两边求全微分得
$$
\mathrm{e}^{x+2 y+3 z} \cdot(\mathrm{~d} x+2 \mathrm{~d} y+3 \mathrm{~d} z)+y z \mathrm{~d} x+x z \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z=0
$$
📋 详细解题步骤
目标：将点(0,0)代入方程求z(0,0)
题目中给出的方程为 $e^{x+y+z} + xyz = e^{3z}$。我们需要求函数 $z = z(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处的值。首先，将 $x=0$ 和 $y=0$ 代入原方程。代入后，方程变为：
$$e^{0+0+z(0,0)} + 0 \cdot 0 \cdot z(0,0) = e^{3z(0,0)}$$
由于 $0 \cdot 0 \cdot z(0,0) = 0$，所以方程简化为：
$$e^{z(0,0)} = e^{3z(0,0)}$$
令 $u = z(0,0)$，则方程化为 $e^u = e^{3u}$。由于指数函数是单调的，两边取自然对数（或直接比较指数）可得 $u = 3u$。移项得 $u - 3u = 0$，即 $-2u = 0$，解得 $u = 0$。因此 $z(0,0) = 0$。
注意：这里也可以直接由 $e^u = e^{3u}$ 推出 $e^{3u} / e^u = e^{2u} = 1$，从而 $2u = 0$，同样得到 $u=0$。总之，代入后得到 $z(0,0)=0$。
公式：e^{z(0,0)} = e^{3z(0,0)} \Rightarrow z(0,0)=0
提示：代入时注意 $xyz$ 项为零，直接化简为指数方程，利用指数单调性求解。
目标：对方程两边求全微分
对方程 $e^{x+2y+3z} + xyz = 1$ 两边同时求全微分。由于方程右边为常数1，其全微分为0。左边是两个函数之和，根据全微分法则，和的微分等于微分之和，即 $d(e^{x+2y+3z}) + d(xyz) = 0$。
首先计算 $d(e^{x+2y+3z})$。令 $u = x+2y+3z$，则 $e^{x+2y+3z} = e^u$。由链式法则，$d(e^u) = e^u du$，而 $du = d(x+2y+3z) = dx + 2dy + 3dz$。因此 $d(e^{x+2y+3z}) = e^{x+2y+3z}(dx + 2dy + 3dz)$。
其次计算 $d(xyz)$。将 $xyz$ 视为三个变量乘积，利用乘积的微分法则：$d(xyz) = yz\,dx + xz\,dy + xy\,dz$。
将两部分结果代入微分方程，得到：
$$e^{x+2y+3z}(dx + 2dy + 3dz) + yz\,dx + xz\,dy + xy\,dz = 0.$$
整理后，可将含 $dx, dy, dz$ 的项分别合并，为下一步求解 $"partial z/"partial x$ 或 $"partial z/"partial y$ 做准备。
公式：$$e^{x+2y+3z}(dx+2dy+3dz) + yz\,dx + xz\,dy + xy\,dz = 0$$
提示：求全微分时，逐项应用微分法则，注意系数不要遗漏。
目标：代入(0,0,0)求解dz
将点 $(0,0,0)$ 代入上一步得到的全微分方程中。上一步得到的方程为：
$$1\cdot (dx + 2dy + 3dz) + 0 = 0$$
化简得：
$$dx + 2dy + 3dz = 0$$
移项，将含有 $dz$ 的项保留在左边，其余项移到右边：
$$3dz = -dx - 2dy$$
两边同时除以 $3$，得到 $dz$ 的表达式：
$$dz = -\frac{1}{3}dx - \frac{2}{3}dy$$
因此，在点 $(0,0,0)$ 处，全微分 $dz$ 由上式给出。最终答案为：
$$\boxed{dz = -\frac{1}{3}dx - \frac{2}{3}dy}$$
公式：dz = -\frac{1}{3}dx - \frac{2}{3}dy
提示：代入点坐标时，务必同时代入所有变量，并注意移项时的符号变化。