2015年考研数学三第12题

首先，我们面对的是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其一般形式为 $y'' + p y' + q y = 0$。本题中，方程对应的特征方程为 $\lambda^2 + \lambda - 2 = 0$。 为了求解特征根，我们使用求根公式 $\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a=1$，$b=1$，$c=-2$。计算判别式： $$ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9. $$ 因此， $$ \lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}. $$ 得到两个不同的实根： $$ \lambda_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2, \quad \lambda_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1. $$ 对于二阶常系数线性齐次微分方程，当特征根为两个不相等的实根 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 时，通解形式为 $y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。 将求得的特征根代入，得到微分方程的通解为： $$ y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x}. $$ 至此，我们完成了第一步：求解微分方程的通解。后续步骤将利用初始条件确定常数 $C_1$ 和 $C_2$ 的具体值。

已知函数$y(x)$在$x=0$处取得极值，根据极值的必要条件，若函数在$x=0$处可导，则必有$y'(0)=0$。 上一步已求得微分方程的通解为： $$y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} + \frac{1}{2} e^{-x}$$ 现在对通解求导，得到$y'$的表达式。对每一项分别求导： - $(C_1 e^{-2x})' = C_1 \cdot (-2) e^{-2x} = -2C_1 e^{-2x}$ - $(C_2 e^{x})' = C_2 e^{x}$ - $(\frac{1}{2} e^{-x})' = \frac{1}{2} \cdot (-1) e^{-x} = -\frac{1}{2} e^{-x}$ 因此， $$y' = -2C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} - \frac{1}{2} e^{-x}$$ 将极值条件$x=0$代入上式。注意$e^0 = 1$，所以： $$y'(0) = -2C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 = -2C_1 + C_2 - \frac{1}{2}$$ 由极值条件$y'(0)=0$得： $$-2C_1 + C_2 - \frac{1}{2} = 0$$ 整理即得第一个关于$C_1$和$C_2$的方程： $$-2C_1 + C_2 = \frac{1}{2}$$ 这个方程将用于后续步骤中与另一个条件联立，以确定任意常数$C_1$和$C_2$的具体值。

已知函数 $y(x)$ 在 $x=0$ 处取得极值，且极值为 $3$。这意味着当 $x=0$ 时，函数值 $y(0)=3$。在第二步中，我们已经得到了微分方程的通解形式为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$（具体特征根 $r_1, r_2$ 由特征方程决定，此处暂不展开）。将 $x=0$ 代入通解，利用 $e^0 = 1$，可得： $$ y(0) = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 1 = C_1 + C_2. $$ 由极值条件 $y(0)=3$，立即得到方程： $$ C_1 + C_2 = 3. $$ 这个方程建立了两个任意常数 $C_1$ 与 $C_2$ 之间的第一个关系。注意，这里仅利用了极值的数值，尚未使用“极值点处导数为零”的条件，该条件将在后续步骤中用于建立第二个方程。

本步骤需要解由前一步得到的方程组： $$ \begin{cases} -2C_1 + C_2 = 0 \\ C_1 + C_2 = 3 \end{cases} $$ **解法一：代入法** 由第一个方程得 $C_2 = 2C_1$，代入第二个方程： $$ C_1 + 2C_1 = 3 \quad \Rightarrow \quad 3C_1 = 3 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 1 $$ 再将 $C_1=1$ 代入 $C_2 = 2C_1$ 得 $C_2 = 2$。 **解法二：加减消元法** 将第一个方程乘以 $-1$ 后与第二个方程相加： $$ (2C_1 - C_2) + (C_1 + C_2) = 0 + 3 \quad \Rightarrow \quad 3C_1 = 3 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 1 $$ 代入第二个方程得 $1 + C_2 = 3$，故 $C_2 = 2$。 因此，常数的解为 $C_1 = 1$，$C_2 = 2$。

由前一步得到的通解 $y(x)=C_1 e^{-2x}+C_2 e^{x}$，代入初始条件 $y(0)=3$ 和 $y'(0)=0$ 确定常数 $C_1$ 和 $C_2$。 首先，由 $y(0)=3$ 得： $$C_1 e^{0}+C_2 e^{0}=C_1+C_2=3.$$ 其次，求导得 $y'(x)=-2C_1 e^{-2x}+C_2 e^{x}$，代入 $y'(0)=0$ 得： $$-2C_1 e^{0}+C_2 e^{0}=-2C_1+C_2=0.$$ 解方程组： \begin{cases} C_1+C_2=3,\\ -2C_1+C_2=0. \end{cases} 由第二个方程得 $C_2=2C_1$，代入第一个方程：$C_1+2C_1=3$，即 $3C_1=3$，解得 $C_1=1$。进而 $C_2=2$。 因此，满足初始条件的特解为： $$y(x)=1\cdot e^{-2x}+2\cdot e^{x}=e^{-2x}+2e^{x}.$$ **验证**：计算 $y(0)=e^{0}+2e^{0}=1+2=3$，$y'(x)=-2e^{-2x}+2e^{x}$，$y'(0)=-2+2=0$，符合初始条件。代入原微分方程 $y''+y'-2y=0$，验证成立。故特解正确。