2015年考研数学三第13题

首先，我们仔细阅读题目，提取所有已知条件。题目给出： 1. 矩阵$A$是一个3阶方阵，即$A$的尺寸为$3 \times 3$。 2. 矩阵$A$的三个特征值分别为：$\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = -2$，$\lambda_3 = 1$。注意，特征值可能重复，但这里三个数值互不相同，因此$A$可对角化（至少存在三个线性无关的特征向量）。 3. 定义了一个新的矩阵$B$，其表达式为：$B = A^2 - A + E$，其中$E$表示3阶单位矩阵。 这些条件是我们后续求解矩阵$B$的特征值、行列式、迹等性质的基础。特别地，由于$B$是$A$的多项式函数，根据特征值的性质：如果$\lambda$是$A$的特征值，则$\mu = \lambda^2 - \lambda + 1$是$B$的对应特征值（特征向量相同）。因此，我们可以直接利用$A$的特征值计算出$B$的三个特征值，进而求解相关问题。 本步骤的目标是明确所有已知信息，为后续计算做准备。

已知矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda$，则矩阵 $B = A^2 - A + E$ 的特征值可由特征值多项式定理得到。该定理指出：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则对于任意多项式 $p(x)$，$p(\lambda)$ 是 $p(A)$ 的特征值。这里 $p(x) = x^2 - x + 1$，因此对于 $A$ 的每一个特征值 $\lambda$，$B$ 对应的特征值为 $\mu = \lambda^2 - \lambda + 1$。 设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，则 $B$ 的特征值为 $\mu_i = \lambda_i^2 - \lambda_i + 1$，$i=1,2,3$。由于 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，$B$ 也是 $3$ 阶矩阵，且 $B$ 的行列式等于其特征值的乘积，即 $\det(B) = \mu_1 \mu_2 \mu_3$。 因此，我们只需利用已知的 $A$ 的特征值信息（通常由题目其他条件给出，例如 $A$ 的特征值之和、之积等），代入计算 $\mu_i$ 的乘积即可。若 $A$ 的特征值未知，则需先通过其他步骤（如步骤1）求出 $A$ 的特征值。本步骤的核心是将 $B$ 的特征值用 $A$ 的特征值表示，为后续计算行列式做准备。

已知矩阵$B$的特征多项式为$f(\lambda) = (\lambda-2)(\lambda+2)(\lambda-1)$。特征多项式$f(\lambda)=0$的根即为矩阵$B$的全部特征值。 令$f(\lambda)=0$，即$(\lambda-2)(\lambda+2)(\lambda-1)=0$。 分别求解每个因式为零： - 当$\lambda-2=0$时，得$\lambda=2$； - 当$\lambda+2=0$时，得$\lambda=-2$； - 当$\lambda-1=0$时，得$\lambda=1$。 因此，矩阵$B$的三个特征值为$\lambda_1=2$，$\lambda_2=-2$，$\lambda_3=1$。 注意：特征值可能有重根，但此处三个因式互不相同，故特征值均为单根。

已知三阶矩阵 $B$ 的三个特征值分别为 $\lambda_1 = 3$，$\lambda_2 = 7$，$\lambda_3 = 1$。根据线性代数中行列式与特征值的关系，对于任意 $n$ 阶方阵，其行列式等于所有特征值的乘积（计重数）。因此，矩阵 $B$ 的行列式 $\det(B)$ 可直接计算为： $$ \det(B) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3 = 3 \times 7 \times 1 = 21. $$ 为了验证结果的正确性，我们可以从特征值的定义出发：若 $\lambda$ 是矩阵 $B$ 的特征值，则存在非零向量 $\boldsymbol{x}$ 使得 $B\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$。将三个特征值对应的特征向量组合，可以构造可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}BP = \Lambda$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(3,7,1)$。两边取行列式得 $\det(P^{-1}BP) = \det(\Lambda)$，即 $\det(B) = \det(\Lambda) = 3 \times 7 \times 1 = 21$。该结果与直接乘积一致。 因此，三阶矩阵 $B$ 的行列式为 $21$。