2015年考研数学三第14题

填空题 · 4分

📝 题目

设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(1,0 ; 1,1 ; 0)$ ，则 $P\{X Y-Y\lt 0\}=$

💡 答案解析

**答案**: $\displaystyle\frac{1}{2}$ ．

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**解析**:

因为 $\rho=0$ ，所以 $X, Y$ 独立且不相关，且 $X \sim N(1,1), Y \sim N(0,1)$ ，

$$ \begin{aligned} P\{X Y-Y\lt 0\} & =P\{(X-1) Y\lt 0\} \\ & =P\{X\lt 1\} P\{Y\gt 0\}+P\{X\gt 1\} P\{Y\lt 0\} \\ & =\frac{1}{2}(P\{X\lt 1\}+P\{X\gt 1\})=\frac{1}{2} \end{aligned} $$

方法点评：本题考查二维正态分布的性质． 注意使用如下性质： 若 $(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; \rho\right)$ ，则 $X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ ； 若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，则 $P\{X \leqslant \mu\}=P\{X\gt \mu\}=\displaystyle\frac{1}{2}$ ； 设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; \rho\right)$ ，若 $\rho=0$ ，则 $X, Y$ 不相关； 设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; \rho\right)$ ，则 $X, Y$ 不相关与独立等价．

## 三、解答题

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：确定边缘分布与独立性
已知二维随机变量 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，其参数为：$\mu_1=1$，$\mu_2=0$，$\sigma_1^2=1$，$\sigma_2^2=1$，相关系数 $\rho=0$。 根据二维正态分布的性质，边缘分布分别为： $$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2) = N(1,1)$$ $$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2) = N(0,1)$$ 由于相关系数 $\rho=0$，且对于二维正态分布，不相关与独立等价，因此 $X$ 与 $Y$ 相互独立。 独立性的具体含义是：对于任意实数 $x$ 和 $y$，联合分布函数等于边缘分布函数的乘积，即 $F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$；联合概率密度函数等于边缘概率密度函数的乘积，即 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。 这一步骤为后续计算 $P\{X>Y\}$ 奠定了基础。由于 $X$ 与 $Y$ 独立，我们可以将概率转化为关于 $X-Y$ 的分布进行计算，或者利用对称性简化计算。
公式：$$X \sim N(1,1),\quad Y \sim N(0,1),\quad X \perp Y$$
提示：注意二维正态分布中ρ=0是独立性的充要条件，可直接利用此性质简化问题。
步骤 2/5
目标：化简概率事件
本步骤的目标是将概率事件 $P\{XY - Y < 0\}$ 化简为 $P\{(X-1)Y < 0\}$。 首先，观察原事件中的表达式 $XY - Y$。这是一个关于随机变量 $X$ 和 $Y$ 的代数式。我们可以提取公因式 $Y$，因为 $XY - Y = Y(X - 1)$。具体推导如下： $$XY - Y = Y \cdot X - Y \cdot 1 = Y (X - 1)$$ 因此，原不等式 $XY - Y < 0$ 等价于 $Y(X - 1) < 0$。于是概率事件可以改写为： $$P\{XY - Y < 0\} = P\{Y(X - 1) < 0\}$$ 注意，这里我们只是对事件内部的代数表达式进行了恒等变形，没有改变概率值。这种化简是后续分析 $X$ 和 $Y$ 符号关系的基础。 在化简过程中，需要注意 $Y$ 可能为0的情况。但概率事件中，$Y=0$ 时 $Y(X-1)=0$，不满足严格小于0的条件，因此 $Y=0$ 的点不影响事件 $\{Y(X-1)<0\}$ 的概率（通常连续型随机变量取单点的概率为0，离散型则需单独考虑，但此处化简在集合意义上完全等价）。 至此，我们成功将原概率事件化简为 $P\{(X-1)Y < 0\}$，为下一步分析 $X-1$ 与 $Y$ 的符号关系做好了准备。
公式：$$XY - Y = Y(X - 1)$$
提示：提取公因式时注意符号，$XY-Y=Y(X-1)$，不要写反。
步骤 3/5
目标：利用独立性分解概率
事件$(X-1)Y<0$等价于两个互斥事件的并集： - 情况一：$X-1>0$且$Y<0$，即$X>1$且$Y<0$； - 情况二：$X-1<0$且$Y>0$，即$X<1$且$Y>0$。 由于$X$与$Y$相互独立，因此两个事件的概率可以分别分解为边缘概率的乘积。于是有： $$P\{(X-1)Y<0\}=P\{X>1,Y<0\}+P\{X<1,Y>0\}$$ 由独立性： $$P\{X>1,Y<0\}=P\{X>1\}\cdot P\{Y<0\}$$ $$P\{X<1,Y>0\}=P\{X<1\}\cdot P\{Y>0\}$$ 因此： $$P\{(X-1)Y<0\}=P\{X>1\}P\{Y<0\}+P\{X<1\}P\{Y>0\}$$ 注意：由于$X$是连续型随机变量，$P\{X=1\}=0$，故$P\{X<1\}=1-P\{X>1\}$，但此处保留原形式即可。
公式：P\{(X-1)Y<0\}=P\{X>1\}P\{Y<0\}+P\{X<1\}P\{Y>0\}
提示：将复杂事件拆解为简单事件的并集，利用独立性将联合概率化为乘积。
步骤 4/5
目标：利用正态分布对称性求各概率
已知随机变量 $X \sim N(1,1)$，其概率密度函数关于均值 $\mu=1$ 对称。根据正态分布的对称性，有： $$P\{X > 1\} = P\{X < 1\} = \frac{1}{2}.$$ 同样，已知随机变量 $Y \sim N(0,1)$，其概率密度函数关于均值 $\mu=0$ 对称，因此： $$P\{Y > 0\} = P\{Y < 0\} = \frac{1}{2}.$$ 这两个概率是后续计算的基础。由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，我们可以利用这些概率来简化联合概率的计算。例如，事件 $\{X > 1\}$ 与事件 $\{Y > 0\}$ 相互独立，因此 $P\{X > 1, Y > 0\} = P\{X > 1\} \cdot P\{Y > 0\} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。类似地，其他组合的概率也可通过乘法得到。
公式：$$P\{X > 1\} = P\{X < 1\} = \frac{1}{2}, \quad P\{Y > 0\} = P\{Y < 0\} = \frac{1}{2}.$$
提示：牢记正态分布对称性：均值两侧概率各为1/2。

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