2015年考研数学三第23题

已知总体$X$的概率密度函数为： $$ f(x;\theta) = \begin{cases} \dfrac{1}{1-\theta}, & \theta \le x \le 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 其中$\theta$为未知参数，且$0<\theta<1$。 总体期望$E(X)$的定义为： $$ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x;\theta) \, dx. $$ 由于$f(x;\theta)$仅在区间$[\theta,1]$上非零，因此积分区间可简化为$[\theta,1]$： $$ E(X) = \int_{\theta}^{1} x \cdot \frac{1}{1-\theta} \, dx. $$ 将常数因子$\dfrac{1}{1-\theta}$提到积分号外： $$ E(X) = \frac{1}{1-\theta} \int_{\theta}^{1} x \, dx. $$ 计算定积分$\int_{\theta}^{1} x \, dx$： $$ \int_{\theta}^{1} x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{\theta}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{\theta^2}{2} = \frac{1-\theta^2}{2}. $$ 代入得： $$ E(X) = \frac{1}{1-\theta} \cdot \frac{1-\theta^2}{2} = \frac{1-\theta^2}{2(1-\theta)}. $$ 利用平方差公式$1-\theta^2 = (1-\theta)(1+\theta)$，化简： $$ E(X) = \frac{(1-\theta)(1+\theta)}{2(1-\theta)} = \frac{1+\theta}{2}. $$ 因此，总体期望$E(X)$关于参数$\theta$的表达式为： $$ E(X) = \frac{1+\theta}{2}. $$

根据矩估计法的基本思想，用样本矩代替总体矩，令总体期望 $E(X)$ 等于样本均值 $\bar{X}$。 已知总体 $X$ 服从区间 $[0,\theta]$ 上的均匀分布，即 $X \sim U(0,\theta)$，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{\theta}, \ 0 \leq x \leq \theta$。 首先计算总体期望： $$E(X) = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{1}{\theta} \, dx = \frac{1}{\theta} \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\theta} = \frac{1}{\theta} \cdot \frac{\theta^2}{2} = \frac{\theta}{2}.$$ 样本均值定义为： $$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i.$$ 令总体期望等于样本均值，建立矩估计方程： $$\frac{\theta}{2} = \bar{X}.$$ 解此方程，两边同时乘以 2，得到 $\theta$ 的矩估计量： $$\hat{\theta}_{M} = 2\bar{X}.$$ 因此，参数 $\theta$ 的矩估计量为 $\hat{\theta} = 2\bar{X}$。

首先，根据题目条件，总体$X$的密度函数为$f(x;\theta)=\frac{1}{1-\theta}$，其中$\theta \leq x \leq 1$，且$0<\theta<1$。设样本$X_1,X_2,\ldots,X_n$独立同分布，则似然函数为： $$L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)=\prod_{i=1}^n \frac{1}{1-\theta}=\frac{1}{(1-\theta)^n},$$ 其中要求$\theta \leq x_i \leq 1$对所有$i=1,2,\ldots,n$成立，即$\theta \leq \min\{x_1,\ldots,x_n\}$。 接下来，对似然函数$L(\theta)$关于$\theta$求导。由于$L(\theta)=(1-\theta)^{-n}$，利用复合函数求导法则得： $$\frac{dL}{d\theta}=(-n)(1-\theta)^{-n-1}\cdot(-1)=n(1-\theta)^{-n-1}=\frac{n}{(1-\theta)^{n+1}}.$$ 因为$0<\theta<1$，所以$1-\theta>0$，从而分母$(1-\theta)^{n+1}>0$，分子$n>0$，故导数$\frac{dL}{d\theta}>0$恒成立。这表明似然函数$L(\theta)$是$\theta$的严格单调递增函数。 因此，在$\theta$的取值范围内，$L(\theta)$随$\theta$增大而增大。这一单调性将用于下一步确定$\theta$的最大似然估计量。

由前一步骤已知，似然函数为 $$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i;\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} = \frac{1}{\theta^n}, \quad 0 < x_i \leq \theta, \ i=1,2,\dots,n.$$ 由于$L(\theta)=\theta^{-n}$，且$n>0$，因此$L(\theta)$关于$\theta$是严格单调递减的。但注意，这里似然函数仅在$\theta \geq \max\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$时非零（因为每个$x_i \leq \theta$），实际上更精确的约束是$\theta \geq \max\{x_i\}$。然而，题目中给出的分布为均匀分布$U(0,\theta)$，其密度函数为$f(x;\theta)=\frac{1}{\theta}, \ 0

公式：$$\hat{\theta} = \max\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$$

提示：注意似然函数非零的定义域，在边界上取极值。