2015年考研数学三第22题

根据题意，总体$X$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases} 2^{-x}\ln 2, & x>0 \\ 0, & x\leq 0 \end{cases}$。我们需要计算单次观测值大于3的概率，即$p=P\{X>3\}$。由概率密度的定义，事件$\{X>3\}$的概率等于概率密度函数在区间$(3,+\infty)$上的积分： $$p = P\{X>3\} = \int_{3}^{+\infty} f(x) \, dx = \int_{3}^{+\infty} 2^{-x}\ln 2 \, dx.$$ 计算该积分：令$u = -x\ln 2$，则$du = -\ln 2 \, dx$，即$\ln 2 \, dx = -du$。当$x=3$时，$u = -3\ln 2$；当$x\to +\infty$时，$u\to -\infty$。因此 $$\int_{3}^{+\infty} 2^{-x}\ln 2 \, dx = \int_{3}^{+\infty} e^{-x\ln 2}\ln 2 \, dx = \int_{-3\ln 2}^{-\infty} e^{u} (-du) = \int_{-\infty}^{-3\ln 2} e^{u} \, du.$$ 计算得 $$\int_{-\infty}^{-3\ln 2} e^{u} \, du = \left. e^{u} \right|_{-\infty}^{-3\ln 2} = e^{-3\ln 2} - 0 = e^{\ln(2^{-3})} = 2^{-3} = \frac{1}{8}.$$ 因此，$p = \frac{1}{8}$。

根据题意，每次观测是独立的，且每次观测值大于3的概率为$p = P(X > 3)$。由于$X$服从标准正态分布$N(0,1)$，故$p = 1 - \Phi(3)$，其中$\Phi(\cdot)$为标准正态分布函数。 $Y$表示直到第2个大于3的观测值出现时的观测次数。显然，$Y$的最小可能取值为2（即前两次观测都大于3），最大可能取值为无穷大（理论上可以一直观测不到第二个大于3的值）。因此$Y$的可能取值为$2,3,4,\dots$。 $Y$的分布律：在$n$次观测中，第$n$次观测值大于3，且在前$n-1$次观测中恰好有1次观测值大于3。由于各次观测独立，前$n-1$次中恰有1次大于3的概率服从二项分布，即$\binom{n-1}{1}p(1-p)^{n-2}$，再乘以第$n$次大于3的概率$p$，得到 $$P(Y=n) = \binom{n-1}{1} p^2 (1-p)^{n-2}, \quad n=2,3,4,\dots$$ 这正是负二项分布（帕斯卡分布）的形式，参数为$r=2$（成功次数）和成功概率$p$。因此$Y$服从参数为$r=2$和$p$的负二项分布，记作$Y \sim NB(2, p)$。

设随机变量 $Y$ 表示在独立重复的伯努利试验中，第2次成功恰好发生在第 $k$ 次试验时的试验次数。根据题意，$Y$ 的可能取值为 $2,3,4,\dots$。 要使得第 $k$ 次试验恰好是第2次成功，必须满足以下两个条件： 1. 前 $k-1$ 次试验中恰好发生了1次成功（因此有 $k-2$ 次失败）； 2. 第 $k$ 次试验成功。 由于各次试验相互独立，且每次试验成功的概率为 $p$，失败的概率为 $1-p$。 首先，前 $k-1$ 次试验中恰好有1次成功的情况数：从 $k-1$ 次试验中选出1次作为成功，共有 $\binom{k-1}{1}$ 种方式。 其次，前 $k-1$ 次试验中，成功1次且失败 $k-2$ 次的概率为 $p^1 (1-p)^{k-2}$。 最后，第 $k$ 次试验成功的概率为 $p$。 因此，由乘法原理和组合计数，$Y$ 的分布律为： $$P\{Y=k\} = \binom{k-1}{1} \cdot p \cdot (1-p)^{k-2} \cdot p = (k-1) p^2 (1-p)^{k-2}, \quad k=2,3,4,\dots$$ 此即负二项分布（帕斯卡分布）的一种特殊形式，表示第2次成功发生在第 $k$ 次试验的概率。